Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La valeur moyenne d'une fonction continue sur [a;b] vaut μ=b−a1∫abf(x)dx.
Elle prolonge la moyenne arithmétique d'une liste de nombres aux fonctions intégrables.
Elle reste entre le minimum et le maximum de f sur l'intervalle, et une fonction continue prend cette valeur en au moins un point.
Pour une fonction positive, μ×(b−a) est l'aire sous la courbe : c'est la hauteur d'un rectangle de même aire.
Avant de commencer
Ce quiz couvre la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : la formule, le calcul avec une primitive, l'encadrement entre minimum et maximum, l'existence d'un point où la fonction prend cette valeur, et le lien avec l'aire sous la courbe. Tu as déjà vu l'intégrale comme une aire, ses propriétés (linéarité, positivité, relation de Chasles) et l'intégration par parties.
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle : elle prolonge la moyenne arithmétique, somme divisée par le nombre de termes 2. L'intégrale seule est une aire, pas une moyenne. La demi-somme 2f(a)+f(b) est juste pour une fonction affine, mais pas en général. Le quotient b−af(b)−f(a) est un taux de variation, donc une pente.
Une primitive de f est F(x)=x2+x, donc ∫03f(x)dx=F(3)−F(0)=12. On divise par b−a=3 : μ=4. Oublier la division donne 12, qui est l'intégrale et non la moyenne. Pour une fonction affine, on retrouve aussi 2f(0)+f(3)=21+7=4.
∫03x2dx=333=9, puis μ=39=3. L'erreur tentante est de prendre 2f(0)+f(3)=4,5 : cette demi-somme n'est garantie que pour une fonction affine, et ici elle donne un résultat faux.
C'est vrai : si m≤f(x)≤M, on intègre l'inégalité sur [a;b] puis on divise par b−a>0, ce qui donne m≤μ≤M1. Elle ne peut donc jamais dépasser la plus grande valeur de f, comme toute moyenne 2. Penser le contraire revient à croire qu'une moyenne peut être plus grande que tous les termes.
∫−11x2dx=31−(−31)=32, et la longueur de l'intervalle vaut 2, donc μ=31. La réponse 32 est l'intégrale sans division. La réponse 0 confond avec la fonction impaire x : ici x2 est positive, donc sa moyenne est strictement positive.
∫0πsinxdx=[−cosx]0π=1−(−1)=2. On divise par π : μ=π2≈0,637. La valeur 2 est l'intégrale ; π2 est bien inférieure au maximum de sin sur l'intervalle, qui vaut 1, comme attendu.
C'est vrai : la valeur moyenne se situe entre le minimum et le maximum de f, et le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une fonction continue prend toute valeur située entre ces deux extrêmes 1. L'hypothèse de continuité est indispensable ; sans elle, la moyenne peut n'être jamais atteinte.
∫273dx=3×5=15, divisé par b−a=5 : on trouve 3. C'est logique : la moyenne d'une liste de valeurs toutes égales à 3 vaut 3. La réponse 15 est l'intégrale ; 5 est la longueur de l'intervalle.
La première est la définition réécrite. La deuxième vient de l'encadrement obtenu en intégrant m≤f≤M1. La quatrième vient du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue 1. La troisième est fausse : par exemple, pour x2 sur [0;3], la moyenne vaut 3 et non 4,5.
La longueur de l'intervalle est 5−1=4, donc μ=420=5. L'erreur classique est de diviser par 5 (la borne supérieure) au lieu de b−a, ce qui donne 4.
∫0ln2exdx=eln2−e0=2−1=1. La longueur de l'intervalle est ln2, donc μ=ln21≈1,44. La réponse 1 est l'intégrale. Le résultat est bien entre f(0)=1 et f(ln2)=2, car ex est croissante.
Une primitive est lnx : ∫1ex1dx=lne−ln1=1. On divise par e−1≈1,718 : μ=e−11≈0,582. Ce nombre est bien entre f(e)≈0,368 et f(1)=1.
Une primitive de T est −3t3+3t2. En 6 : −72+108=36 ; en 0 : 0. L'intégrale vaut 36 et on divise par 6 : μ=6 °C. La moyenne des deux extrémités, 2T(0)+T(6)=0, serait absurde ici : la température monte jusqu'à 9 °C à t=3.
Comme μ(b−a)=∫abf(x)dx, le rectangle de base b−a et de hauteur μ a la même aire que le domaine sous la courbe. μ n'est donc pas l'aire elle-même. Elle n'est pas non plus f(2a+b) en général : pour x2 sur [0;3], on a μ=3 alors que f(1,5)=2,25.
La moyenne arithmétique est la somme des termes divisée par leur nombre 2 : 44+8+9+11=432=8. La valeur moyenne d'une fonction généralise ce calcul : l'intégrale remplace la somme et la longueur b−a remplace le nombre de termes.
C'est vrai : la valeur efficace d'un signal est toujours supérieure ou égale à la valeur absolue de sa valeur moyenne 3. Un signal alternatif de valeur moyenne nulle a pourtant une valeur efficace non nulle, ce qui montre que les deux notions sont distinctes.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi divise-t-on par b − a dans la valeur moyenne ?
Parce que la moyenne d'une liste se calcule en divisant la somme par le nombre de termes 2. Pour une fonction, l'intégrale joue le rôle de la somme et la longueur b−a de l'intervalle joue celui du nombre de termes. Sans cette division, tu obtiens une aire, qui dépend de la largeur de l'intervalle, alors que la moyenne est une hauteur.
La valeur moyenne peut-elle être négative ou nulle ?
Oui. Elle se situe entre le minimum et le maximum de f1, donc si f prend des valeurs négatives, la moyenne peut l'être aussi. Elle peut être nulle sans que f le soit : par exemple, f(x)=x sur [−1;1] a pour intégrale 0, donc une valeur moyenne nulle, parce que les parties au-dessus et au-dessous de l'axe se compensent.