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Loi de Bernoulli et loi binomiale : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1-p$ ) ; la variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .
Un schéma de Bernoulli répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli.
Le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k$ entier de 0 à $n$ .
Espérance $E(X)=np$ , variance $V(X)=np(1-p)$ , écart type $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ .
Pour « au moins un succès », passe par l'événement contraire : $P(X\geq 1)=1-(1-p)^n$ .

Pourquoi étudier cette loi ?

Tu lances une pièce dix fois, tu réponds au hasard à un questionnaire, tu tires des pièces au hasard dans une production : dans ces situations, tu répètes la même expérience et tu t'intéresses au nombre de fois où un certain résultat apparaît. Une seule loi de probabilité permet de traiter toutes ces situations d'un coup : la loi binomiale.

Cette loi est l'une des plus anciennes lois de probabilités étudiées. Jacques Bernoulli y fait référence en 1713 dans son ouvrage Ars Conjectandi ⁵, parution que le programme présente comme une rupture dans l'histoire des probabilités ¹. Elle est décrite par deux paramètres : $n$ , le nombre d'expériences réalisées, et $p$ , la probabilité de succès ⁵.

Dans ce cours, tu vas :

reconnaître une épreuve de Bernoulli et définir la loi de Bernoulli ;
modéliser une répétition d'épreuves par un schéma de Bernoulli, comme le demande le programme ¹ ;
calculer des probabilités avec la loi binomiale grâce aux coefficients binomiaux ;
calculer l'espérance, la variance et l'écart type ;
éviter les erreurs que l'on rencontre le plus souvent au bac.

Tu as besoin de trois acquis : le dénombrement, les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ (avec le triangle de Pascal) et la notion d'épreuves indépendantes.

Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli

Tu choisis toi-même ce que tu appelles « succès ». Ce mot ne dit pas que le résultat est agréable : si tu étudies des pièces défectueuses, le « succès » peut être de tomber sur une pièce défectueuse. L'important est que l'expérience n'ait que deux issues, et que la probabilité de l'une d'elles soit connue et constante.

L'écriture $\mathcal{B}(1,p)$ n'est pas un hasard : une variable de Bernoulli de paramètre $p$ est une loi binomiale de paramètres $1$ et $p$ ⁴ ⁵. La loi de Bernoulli est le cas le plus simple de la loi binomiale, avec une seule épreuve.

La loi de Bernoulli est un outil de comptage : la variable vaut 1 lors d'un succès et 0 sinon ⁵. En additionnant plusieurs de ces variables, on compte les succès.

ExempleUn lancer de dé

On lance un dé équilibré à six faces et on appelle succès « obtenir 1 ». Il y a deux issues pertinentes : obtenir 1, avec la probabilité $\frac{1}{6}$ , ou ne pas l'obtenir, avec la probabilité $\frac{5}{6}$ ⁵. Si $X$ vaut 1 quand on obtient 1 et 0 sinon, alors $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{6}$ .

Sa loi se résume dans un tableau :

Valeur $k$	0	1
$P(X=k)$	$\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$

Le schéma de Bernoulli

Ces deux mots, « identiques » et « indépendantes », sont les conditions à vérifier à chaque fois :

Identiques : à chaque répétition, la probabilité de succès est la même $p$ .
Indépendantes : le résultat d'une épreuve n'influence pas les probabilités des suivantes.

Un résultat du schéma est une liste de $n$ issues, par exemple $(S, E, E, S, S)$ pour $n=5$ avec S pour succès et E pour échec. Comme les épreuves sont indépendantes, la probabilité d'une telle liste est le produit des probabilités de ses composantes ¹.

La loi binomiale : définition et formule

Lis la formule en trois morceaux :

$\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves ;
$p^k$ est la probabilité de $k$ succès précis ;
$(1-p)^{n-k}$ est la probabilité des $n-k$ échecs restants.

On peut aussi rattacher la loi binomiale à la loi de Bernoulli : si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ , leur somme $X_1+\dots+X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ⁴.

Démonstration · Pourquoi cette formule ?

Fixons $k$ entre 0 et $n$ . Un résultat du schéma de Bernoulli qui contient exactement $k$ succès a, par indépendance, pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ , quel que soit l'ordre des succès et des échecs.

Combien de listes contiennent exactement $k$ succès ? Il faut choisir les $k$ positions des succès parmi les $n$ positions possibles : il y a $\binom{n}{k}$ choix.

Les événements « telle liste précise » sont incompatibles deux à deux. On additionne donc leurs probabilités, ce qui revient à multiplier $p^k(1-p)^{n-k}$ par le nombre de listes :

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$

ExempleTrois lancers de dé

On lance 3 fois un dé équilibré et on compte le nombre $X$ de fois où le 1 apparaît. Chaque lancer est indépendant, et la probabilité d'obtenir 1 est $\frac{1}{6}$ ⁵. Donc $X\sim\mathcal{B}\left(3,\frac{1}{6}\right)$ .

Il y a trois configurations pour obtenir un seul 1 (au premier, au deuxième ou au troisième lancer) ⁵, ce qui correspond à $\binom{3}{1}=3$ . Donc

$P(X=1)=3\times\frac{1}{6}\times\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{75}{216}=\frac{25}{72}\approx0{,}347.$

La loi complète :

$k$	0	1	2	3
$P(X=k)$	$\frac{125}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{1}{216}$

La somme des probabilités vaut $\frac{125+75+15+1}{216}=1$ , ce qui sert de vérification.

Représentation par un arbre

Comme la loi binomiale est une suite d'épreuves de Bernoulli, on peut la représenter par un arbre pondéré : chaque nœud représente le résultat d'une épreuve, et les probabilités du succès et de l'échec sont portées par deux branches distinctes qui partent du nœud ⁵. Un arbre à $n$ générations correspond à la loi $\mathcal{B}(n,p)$ ⁵.

Prenons $n=3$ et $p$ quelconque. L'arbre a 8 chemins. Tu les regroupes selon le nombre de succès :

Nombre de succès	Chemins concernés	Nombre de chemins
0	EEE	1
1	SEE, ESE, EES	3
2	SSE, SES, ESS	3
3	SSS	1

Les nombres de chemins 1, 3, 3, 1 sont exactement les coefficients binomiaux de la ligne $n=3$ du triangle de Pascal. L'arbre te donne ainsi le sens du coefficient $\binom{n}{k}$ : le nombre de chemins de l'arbre qui contiennent $k$ succès.

Espérance, variance et écart type

Démonstration · Pourquoi $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ ?

Écris $X=X_1+\dots+X_n$ , où chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ et où les $X_i$ sont indépendantes. C'est précisément la relation entre loi de Bernoulli et loi binomiale qui rend le calcul facile ⁴.

Pour une variable de Bernoulli : $E(X_i)=0\times(1-p)+1\times p=p$ . Ensuite $E(X_i^2)=p$ (car $0^2=0$ et $1^2=1$ ), donc

$V(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i)^2=p-p^2=p(1-p).$

L'espérance d'une somme est la somme des espérances : $E(X)=np$ . Pour des variables indépendantes, la variance d'une somme est la somme des variances : $V(X)=np(1-p)$ .

ExempleUn QCM répondu au hasard

Un QCM de 10 questions propose 4 réponses par question, dont une seule juste. Un élève répond au hasard à chaque question. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}(10;0{,}25)$ : on répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve dont le succès a pour probabilité $\frac{1}{4}$ .

Espérance : $E(X)=10\times0{,}25=2{,}5$ . En moyenne, l'élève trouve 2,5 bonnes réponses.
Variance : $V(X)=10\times0{,}25\times0{,}75=1{,}875$ .
Écart type : $\sigma(X)=\sqrt{1{,}875}\approx1{,}37$ .
Probabilité d'exactement 3 bonnes réponses :

$P(X=3)=\binom{10}{3}\,0{,}25^3\,0{,}75^7=120\times0{,}015625\times0{,}1334\ldots\approx0{,}2503.$

Méthode : de l'énoncé au résultat

IdentifierDeux issues : succès ou échec, probabilité p.
Justifiern épreuves identiques et indépendantes.
ConclureX suit la loi B(n, p).
TraduireÉcrire l'événement : X = k, X ≤ k, X ≥ k.
CalculerFormule, calculatrice ou événement contraire.

Les étapes pour reconnaître et utiliser la loi binomiale · Méthode à appliquer à chaque problème de loi binomiale.

ExemplePièces défectueuses

Une machine fabrique des pièces, et chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}05$ , indépendamment des autres. On contrôle 20 pièces et on appelle $X$ le nombre de pièces défectueuses.

Modélisation. Contrôler une pièce est une épreuve de Bernoulli (succès : « la pièce est défectueuse », $p=0{,}05$ ). Les 20 contrôles sont indépendants et identiques. Donc $X\sim\mathcal{B}(20;0{,}05)$ .

Aucune pièce défectueuse. $P(X=0)=0{,}95^{20}\approx0{,}3585$ .

Au moins une pièce défectueuse. L'événement contraire de $X\geq1$ est $X=0$ . Donc

$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}95^{20}\approx0{,}6415.$

Espérance. $E(X)=20\times0{,}05=1$ : en moyenne, une pièce défectueuse sur 20 contrôlées.

Calculer avec « au plus » et « au moins »

Les questions du bac ne demandent pas toujours $P(X=k)$ . Elles demandent souvent une probabilité qui regroupe plusieurs valeurs. Voici la traduction des expressions courantes pour $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ :

Expression	Événement	Calcul
exactement $k$	$X=k$	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
au plus $k$	$X\leq k$	$P(X=0)+\dots+P(X=k)$
au moins $k$	$X\geq k$	$1-P(X\leq k-1)$
au moins un	$X\geq1$	$1-(1-p)^n$
aucun	$X=0$	$(1-p)^n$

ExempleCombien de répétitions faut-il ?

On lance une pièce truquée qui donne « face » avec la probabilité $0{,}2$ . Combien de lancers faut-il pour que la probabilité d'obtenir au moins un « face » dépasse $0{,}9$ ?

Pour $n$ lancers, $P(X\geq1)=1-0{,}8^n$ . On cherche $1-0{,}8^n>0{,}9$ , c'est-à-dire $0{,}8^n<0{,}1$ .

En calculant les puissances de $0{,}8$ : $0{,}8^{10}\approx0{,}107$ (encore trop grand) et $0{,}8^{11}\approx0{,}086$ (inférieur à $0{,}1$ ). Il faut donc au moins 11 lancers.

Ce type de question (comparaison, optimisation du nombre de répétitions) fait partie des résolutions de problème attendues pour une variable binomiale ¹. La calculatrice ou le tableur te donne les valeurs, et l'algorithmique peut chercher le plus petit $n$ .

Erreurs fréquentes et conseils pour le bac

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer une probabilité exacte

★☆☆Environ 8 min

Une urne contient des boules dont 30 % sont rouges. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet ; on répète l'opération 5 fois. Soit $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale, et donner la valeur de ses deux paramètres.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges (valeur exacte puis arrondi à $10^{-4}$ ).

Indice 1

Les tirages avec remise sont indépendants et identiques.

Indice 2

Applique $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ avec $n=5$ , $p=0{,}3$ , $k=2$ .

Voir la correction pas à pas

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli : le succès « la boule est rouge » a pour probabilité $p=0{,}3$ .
Les tirages se font avec remise : ils sont identiques et indépendants. On répète donc 5 fois la même épreuve, et $X\sim\mathcal{B}(5;0{,}3)$ .
On applique la formule : $P(X=2)=\binom{5}{2}\times0{,}3^2\times0{,}7^3$ .
On calcule : $\binom{5}{2}=10$ , $0{,}3^2=0{,}09$ , $0{,}7^3=0{,}343$ , donc $P(X=2)=10\times0{,}09\times0{,}343=0{,}3087$ .

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges vaut $0{,}3087$ , soit environ $31\ \%$ .

Exercice 2 Au moins un succès

★★☆Environ 10 min

Un candidat répond au hasard à chaque question d'un test de 10 questions ; chaque question a 5 réponses proposées dont une seule est juste. Les réponses sont indépendantes. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.

Donner la loi de $X$ .
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une bonne réponse (arrondir à $10^{-3}$ ).

Indice 1

Quelle est la probabilité de répondre juste à une question au hasard ?

Indice 2

Passe par l'événement contraire de $X\geq1$ .

Voir la correction pas à pas

Répondre à une question est une épreuve de Bernoulli de succès « bonne réponse », avec $p=\frac{1}{5}=0{,}2$ .
Les 10 questions sont indépendantes : $X\sim\mathcal{B}(10;0{,}2)$ .
L'événement contraire de $X\geq1$ est $X=0$ : $P(X\geq1)=1-P(X=0)$ .
$P(X=0)=\binom{10}{0}\times0{,}2^0\times0{,}8^{10}=0{,}8^{10}\approx0{,}1074$ .
Donc $P(X\geq1)=1-0{,}8^{10}\approx0{,}8926$ .

Le candidat a environ 89,3 % de chances de trouver au moins une bonne réponse.

Exercice 3 Variance d'un contrôle

★★☆Environ 8 min

Dans une grande salle, chaque participant est tiré au sort indépendamment ; la probabilité qu'un participant porte un badge est $0{,}25$ . On observe 40 participants et on appelle $X$ le nombre de badges.

Donner la loi de $X$ .
Calculer $E(X)$ puis la variance $V(X)$ .

Indice 1

Reconnais $n$ et $p$ , puis utilise les formules $np$ et $np(1-p)$ .

Voir la correction pas à pas

Chaque participant est une épreuve de Bernoulli de succès « porte un badge » avec $p=0{,}25$ ; les 40 observations sont indépendantes.
Donc $X\sim\mathcal{B}(40;0{,}25)$ .
$E(X)=np=40\times0{,}25=10$ .
$V(X)=np(1-p)=40\times0{,}25\times0{,}75=7{,}5$ .

En moyenne, 10 participants sur 40 portent un badge, et la variance vaut $7{,}5$ (écart type $\sqrt{7{,}5}\approx2{,}74$ ).

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser la loi binomiale ?

Cherche trois éléments : une expérience à deux issues (succès ou échec), répétée $n$ fois, avec la même probabilité de succès et des répétitions indépendantes. Si on te demande le nombre de succès, c'est la loi binomiale ⁵. Si l'énoncé parle de tirages sans remise ou si la probabilité change, ce n'est pas le bon modèle.

Quelle est la différence entre loi de Bernoulli et loi binomiale ?

La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve et vaut 1 en cas de succès, 0 sinon ⁴. La loi binomiale décrit le nombre de succès sur $n$ épreuves indépendantes : c'est la somme de $n$ variables de Bernoulli ⁴. La loi de Bernoulli est donc le cas $n=1$ de la loi binomiale.

Que signifie la notation $\mathcal{B}(n,p)$ ?

Le premier paramètre $n$ est le nombre d'épreuves, le second $p$ est la probabilité de succès d'une épreuve ⁵. Ne les intervertis pas : $\mathcal{B}(10;0{,}2)$ et $\mathcal{B}(0{,}2;10)$ ne veulent pas dire la même chose (la seconde n'a aucun sens).

À quoi sert la loi binomiale en dehors des exercices ?

Elle sert à modéliser tout ce qui se compte en succès ou en échecs : réponses à un sondage, pièces défectueuses en contrôle qualité, réussite à un test. Jacques Bernoulli l'a notamment introduite pour estimer une proportion inconnue à partir d'un échantillon ⁴. Au programme, elle ouvre ensuite les sommes de variables aléatoires et les inégalités de concentration.

Comment calculer $P(X\leq k)$ ou $P(X\geq k)$ ?

On additionne les $P(X=i)$ concernées, ou on passe par l'événement contraire quand il est plus court : $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$ . La calculatrice et le tableur donnent directement les probabilités cumulées, ce qui est autorisé au bac. Pense à écrire l'événement avant d'entrer les valeurs.

Pourquoi l'espérance est-elle égale à $np$ ?

Parce que $X$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli de paramètre $p$ , chacune d'espérance $p$ . L'espérance d'une somme est la somme des espérances, donc $np$ . Pour la variance, l'indépendance permet d'additionner les variances $p(1-p)$ ⁴.

Sources

Programme visé : Mathématiques spécialité Terminale — Dénombrement et probabilités · Ministère de l'Éducation Nationale / Éduscol

Mathématiques spécialité Terminale — Dénombrement et probabilités, Ministère de l'Éducation Nationale / Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressource Éduscol — Probabilités et lois discrètes, Éduscol (Rang 1). Consulté le 6 novembre 2026.
Zoom sur les probabilités — Loi binomiale et Bernoulli, Académie de Guyane (Rang 2). Consulté le 6 novembre 2026.
Loi de Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Loi binomiale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli

Le schéma de Bernoulli

La loi binomiale : définition et formule

Représentation par un arbre

Espérance, variance et écart type

Méthode : de l'énoncé au résultat

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