Mathématiques (spécialité) · Terminale · Dénombrement et probabilités

Inégalités de concentration et loi des grands nombres

• L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance : $P(|X-\mu|\geq \alpha)\leq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$. Il suffit de connaître l'espérance et la variance.
• Pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$, la variance est divisée par $n$ : c'est l'inégalité de concentration $P(|M_n-\mu|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.
• La loi des grands nombres en découle : pour tout $\varepsilon>0$, $P(|M_n-\mu|\geq\varepsilon)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
• Ces inégalités donnent des bornes sûres mais souvent grossières : elles servent à dimensionner un échantillon, jamais à calculer une probabilité exacte.