Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Loi de Bernoulli et loi binomiale : exercices de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p) ; on la code par 0 ou 1.⁴
Répéter n fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli forme un schéma de Bernoulli ; le nombre de succès X suit la loi binomiale ℬ(n, p).⁵
Probabilité de k succès : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , le coefficient binomial comptant les chemins de l'arbre qui contiennent k succès.³
Espérance $np$ et variance $np(1-p)$ ; pour « au moins un succès », passe par l'événement contraire : $1-(1-p)^n$ .⁴

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus direct au plus délicat. Pour chacun, cherche d'abord seul : lis l'énoncé, repère l'épreuve qui se répète, puis seulement après ouvre un indice. La correction est découpée en étapes ; une étape correspond à une action que tu peux refaire sur ta copie, le jour du contrôle ou du bac.

MéthodeReconnaître et traiter une loi binomiale

Identifier l'épreuve de Bernoulli : une expérience à deux issues, le succès $S$ (probabilité $p$ ) et l'échec $\overline{S}$ (probabilité $1-p$ ).⁴
Vérifier la répétition : l'expérience est répétée $n$ fois, dans les mêmes conditions et de façon indépendante. C'est cela qui définit un schéma de Bernoulli.⁵ Un tirage avec remise convient ; un tirage sans remise ne convient pas.
Nommer la variable : $X$ est le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ . Écris toujours ses paramètres.⁵
Calculer avec $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .³ Pour « au moins un », « au plus », « au moins k », choisis entre somme directe et événement contraire.
Conclure par une phrase, avec le contexte de l'énoncé.

Rappel : l'arbre et les chemins

Une loi binomiale se représente par un arbre de probabilité : chaque nœud correspond au résultat d'une épreuve, avec deux branches, une pour le succès et une pour l'échec, et un arbre de $n$ générations correspond à $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ .⁵ Pour $n=3$ , les chemins qui contiennent un seul succès sont au nombre de trois : le succès tombe à la première, à la deuxième ou à la troisième répétition.⁵ Tous ont la même probabilité $p(1-p)^2$ , d'où $3p(1-p)^2$ , ce que donne la formule avec $\binom{3}{1}=3$ .

Les exercices

Exercice 1 Tirage avec remise dans une urne

★☆☆Environ 6 min

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, et on recommence ainsi 5 fois. On appelle $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
Calcule $P(X=2)$ .

Indice 1

Que se passe-t-il à chaque tirage grâce à la remise ?

Indice 2

Le succès est « la boule est rouge » : combien vaut sa probabilité ?

Voir la correction pas à pas

Un tirage a deux issues : succès « rouge » de probabilité $p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ , échec « verte » de probabilité $\frac{3}{5}$ . C'est une épreuve de Bernoulli.
La boule est remise : les 5 tirages se font dans les mêmes conditions et sont indépendants. On a un schéma de Bernoulli de paramètres $n=5$ et $p=\frac{2}{5}$ .
$X$ compte les succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5\,;\,\frac{2}{5}\right)$ .
On applique la formule : $P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^2\left(\frac{3}{5}\right)^3$ .
$\binom{5}{2}=10$ , $\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}$ , $\left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{27}{125}$ , donc $P(X=2)=\frac{1080}{3125}=0{,}3456$ .

La probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges est $0{,}3456$ . Sans remise, les tirages ne seraient pas indépendants et ce calcul serait faux.

Exercice 2 Trois jets de dé

★☆☆Environ 6 min

Un dé cubique non truqué, numéroté de 1 à 6, est jeté trois fois d'affilée. On note $Y$ le nombre de fois où la face 6 sort.

Donne la loi de $Y$ .
Calcule la probabilité que la face 6 sorte exactement deux fois.

Indice 1

Chaque jet est une épreuve de Bernoulli : quel est le succès ?

Indice 2

Dessine l'arbre : combien de chemins ont exactement deux succès ?

Voir la correction pas à pas

Un jet : succès « obtenir 6 » avec $p=\frac{1}{6}$ , échec avec la probabilité $\frac{5}{6}$ .
Les jets sont indépendants, donc $Y$ suit $\mathcal{B}\left(3\,;\,\frac{1}{6}\right)$ .
Les chemins à deux succès sont SSE, SES et ESS : $\binom{3}{2}=3$ chemins.
Chacun a pour probabilité $\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\frac{5}{6}=\frac{5}{216}$ .
$P(Y=2)=3\times\frac{5}{216}=\frac{15}{216}\approx 0{,}0694$ .

La probabilité que le 6 sorte exactement deux fois en trois jets est $\frac{15}{216}$ , soit environ $0{,}069$ .

Exercice 3 Espérance, variance et écart type

★☆☆Environ 5 min

Un fabricant sait qu'une pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}25$ . On prélève 40 pièces de façon indépendante et on note $Z$ le nombre de pièces défectueuses.

Donne la loi de $Z$ .
Calcule l'espérance, puis la variance de $Z$ .

Indice 1

Les paramètres sont $n=40$ et $p=0{,}25$ .

Indice 2

Variance : $np(1-p)$ .

Voir la correction pas à pas

Prélèvements indépendants, deux issues, probabilité constante : $Z$ suit $\mathcal{B}(40\,;\,0{,}25)$ .
Espérance : $E(Z)=np=40\times0{,}25=10$ .
Variance : $V(Z)=np(1-p)=40\times0{,}25\times0{,}75=7{,}5$ .
Écart type : $\sigma(Z)=\sqrt{7{,}5}\approx 2{,}74$ .

En moyenne, 10 pièces sur 40 sont défectueuses, et la variance vaut $7{,}5$ .

Exercice 4 Au moins un succès

★★☆Environ 8 min

Un joueur tire 8 fois de suite sur une cible. À chaque tir, il touche la cible avec la probabilité $0{,}1$ , indépendamment des autres tirs. Calcule la probabilité qu'il touche la cible au moins une fois.

Indice 1

Passe par l'événement contraire.

Indice 2

L'événement contraire de « au moins une fois » est « aucune fois ».

Voir la correction pas à pas

Soit $X$ le nombre de tirs réussis : $X$ suit $\mathcal{B}(8\,;\,0{,}1)$ .
« Au moins une fois » s'écrit $X\geqslant 1$ , de contraire $X=0$ .
$P(X=0)=\binom{8}{0}\times0{,}1^0\times0{,}9^8=0{,}9^8\approx 0{,}4305$ .
$P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-0{,}9^8\approx0{,}5695$ .

Le joueur touche la cible au moins une fois avec une probabilité d'environ $0{,}57$ , bien que chaque tir ne réussisse qu'une fois sur dix.

Exercice 5 Au plus deux succès

★★☆Environ 8 min

On lance 6 fois une pièce équilibrée. On note $N$ le nombre de « pile ». Calcule $P(N\leqslant 2)$ .

Indice 1

« Au plus deux » regroupe trois valeurs de $N$ .

Indice 2

Les coefficients $\binom{6}{0}$ , $\binom{6}{1}$ , $\binom{6}{2}$ se lisent dans le triangle de Pascal.

Voir la correction pas à pas

$N$ suit $\mathcal{B}\left(6\,;\,\frac{1}{2}\right)$ .
$P(N\leqslant2)=P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)$ .
Comme $p=1-p=\frac12$ , chaque terme vaut $\binom{6}{k}\left(\frac12\right)^6=\frac{\binom{6}{k}}{64}$ .
Les coefficients valent $1$ , $6$ et $15$ , soit une somme de $22$ .
$P(N\leqslant2)=\frac{22}{64}=0{,}34375$ .

La probabilité d'obtenir au plus deux « pile » est $0{,}34375$ .

Exercice 6 Un QCM répondu au hasard

★★☆Environ 10 min

Un QCM comporte 10 questions ; chacune propose 4 réponses dont une seule est exacte. Un élève répond complètement au hasard. On note $B$ le nombre de bonnes réponses.

Donne la loi de $B$ .
Calcule la probabilité d'avoir au moins 8 bonnes réponses.

Indice 1

Quelle est la probabilité de succès à chaque question ?

Indice 2

« Au moins 8 » : trois valeurs de $k$ à additionner (ici l'événement contraire serait plus long).

Voir la correction pas à pas

À chaque question, succès avec $p=\frac14$ , questions indépendantes : $B$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\frac14\right)$ .
$P(B\geqslant8)=P(B=8)+P(B=9)+P(B=10)$ .
$P(B=8)=\binom{10}{8}\left(\frac14\right)^8\left(\frac34\right)^2=\frac{45\times9}{4^{10}}=\frac{405}{4^{10}}$ .
$P(B=9)=\binom{10}{9}\left(\frac14\right)^9\frac34=\frac{30}{4^{10}}$ et $P(B=10)=\frac{1}{4^{10}}$ .
Somme : $\frac{405+30+1}{4^{10}}=\frac{436}{1\,048\,576}\approx 0{,}000416$ .

Obtenir au moins 8 bonnes réponses au hasard a une probabilité d'environ $4\times10^{-4}$ : répondre au hasard n'est pas une stratégie.

Exercice 7 Taille minimale d'une série d'essais

★★★Environ 12 min

Un test réussit avec la probabilité $0{,}2$ , chaque essai étant indépendant des autres. On répète le test $n$ fois et on note $X$ le nombre de réussites. Détermine le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'obtenir au moins une réussite soit supérieure ou égale à $0{,}95$ .

Indice 1

Écris $P(X\geqslant1)$ en fonction de $n$ .

Indice 2

Pour résoudre $0{,}8^n\leqslant0{,}05$ , utilise le logarithme népérien et fais attention au sens de l'inégalité.

Voir la correction pas à pas

$X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}2)$ et $P(X\geqslant1)=1-0{,}8^n$ .
On veut $1-0{,}8^n\geqslant0{,}95$ , soit $0{,}8^n\leqslant0{,}05$ .
On applique $\ln$ , strictement croissante : $n\ln(0{,}8)\leqslant\ln(0{,}05)$ .
Comme $\ln(0{,}8)<0$ , on divise en changeant le sens : $n\geqslant\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)}\approx13{,}43$ .
Le plus petit entier convenable est $n=14$ . Vérification : $0{,}8^{13}\approx0{,}055>0{,}05$ et $0{,}8^{14}\approx0{,}044\leqslant0{,}05$ .

Il faut au moins 14 essais pour avoir 95 % de chances d'obtenir au moins une réussite.

Exercice 8 Somme de deux séries indépendantes

★★★Environ 10 min

Deux ateliers fabriquent des pièces, chaque pièce étant défectueuse avec la probabilité $0{,}3$ dans les deux ateliers. On contrôle 12 pièces du premier atelier (nombre de défectueuses $X_1$ ) et 18 pièces du second ( $X_2$ ), toutes de façon indépendante. On pose $S=X_1+X_2$ .

Donne les lois de $X_1$ et $X_2$ , puis celle de $S$ .
Calcule la variance de $S$ et vérifie qu'elle est égale à $V(X_1)+V(X_2)$ .

Indice 1

Les deux ateliers ont la même probabilité $p$ .

Indice 2

Compare $30\times0{,}3\times0{,}7$ avec $12\times0{,}21+18\times0{,}21$ .

Voir la correction pas à pas

$X_1$ suit $\mathcal{B}(12\,;\,0{,}3)$ et $X_2$ suit $\mathcal{B}(18\,;\,0{,}3)$ .
Elles sont indépendantes et de même paramètre $p=0{,}3$ : $S$ suit $\mathcal{B}(12+18\,;\,0{,}3)=\mathcal{B}(30\,;\,0{,}3)$ .
$V(S)=30\times0{,}3\times0{,}7=6{,}3$ .
$V(X_1)=12\times0{,}21=2{,}52$ et $V(X_2)=18\times0{,}21=3{,}78$ , dont la somme vaut $6{,}3$ .

La variance de $S$ vaut $6{,}3$ , ce qui confirme que, pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent. Pour affirmer que $S$ suit une loi binomiale, il faut en revanche que les deux paramètres $p$ soient égaux.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une situation relève de la loi binomiale ?

Vérifie trois points : chaque répétition n'a que deux issues (succès ou échec), la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition, et les répétitions sont indépendantes.⁵ Un tirage avec remise remplit ces conditions ; sans remise, la probabilité change d'un tirage à l'autre, donc non. Dans un sujet, des expressions comme « de façon indépendante » ou « avec remise » sont des indications.

Quand utiliser l'événement contraire ?

Dès que la somme directe aurait trop de termes. « Au moins un succès » se calcule par $1-P(X=0)=1-(1-p)^n$ . Pour « au plus 2 » avec $n$ grand, la somme est courte ; pour « au moins 2 », passe par $1-P(X=0)-P(X=1)$ .

Que rédiger pour justifier une loi binomiale au bac ?

Écris l'épreuve de Bernoulli et son succès avec $p$ , précise que les $n$ répétitions sont identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli), puis conclus que $X$ , le nombre de succès, suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ en donnant les valeurs de $n$ et de $p$ .²⁵

Sources

Programme visé : Mathématiques spécialité Terminale — Dénombrement et probabilités · Ministère de l'Éducation Nationale / Éduscol

Mathématiques spécialité Terminale — Dénombrement et probabilités, Ministère de l'Éducation Nationale / Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressource Éduscol — Probabilités et lois discrètes, Éduscol (Rang 1). Consulté le 6 novembre 2026.
Zoom sur les probabilités — Loi binomiale et Bernoulli, Académie de Guyane (Rang 2). Consulté le 6 novembre 2026.
Loi de Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Loi binomiale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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