Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac
Loi de Bernoulli et loi binomiale : fiche de Terminale Cours Fiche Exercices Quiz Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p p p 1 − p 1-p 1 − p 4 Un schéma de Bernoulli répète n n n indépendantes 3 La loi binomiale B ( n , p ) \mathcal{B}(n,p) B ( n , p ) nombre de succès : P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} P ( X = k ) = ( k n ) p k ( 1 − p ) n − k 3 5 Espérance E ( X ) = n p E(X)=np E ( X ) = n p V ( X ) = n p ( 1 − p ) V(X)=np(1-p) V ( X ) = n p ( 1 − p ) 4 Avant de l'utiliser, il faut justifier : deux issues, même p p p 2 Au programme · 5 parties Loi de Bernoulli : la brique de base Schéma de Bernoulli et loi binomiale Calculer une probabilité Espérance, variance, écart type Rédiger au bac Quiz Questions fréquentes Loi de Bernoulli : la brique de base Définition Épreuve et loi de Bernoulli
Une variable aléatoire X X X loi de Bernoulli de paramètre p p p lorsqu'elle ne prend que les valeurs 1 1 1 0 0 0 P ( X = 1 ) = p P(X=1)=p P ( X = 1 ) = p P ( X = 0 ) = q = 1 − p P(X=0)=q=1-p P ( X = 0 ) = q = 1 − p 4 épreuve de Bernoulli 5
Attention, erreur fréquente Piège
Le paramètre p p p succès , pas de l'échec. C'est à toi de définir le succès : relis la question posée avant de fixer p p p
Schéma de Bernoulli et loi binomiale Définition Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres n n n p p p n n n indépendantes , de même probabilité de succès p p p 3 5
Définition Loi binomiale
La variable X X X nombre de succès dans ce schéma suit la loi binomiale B ( n , p ) \mathcal{B}(n,p) B ( n , p ) 3 5 n n n p p p 5
Propriété Lien avec Bernoulli
La somme de n n n p p p B ( n , p ) \mathcal{B}(n,p) B ( n , p ) 4 p p p B ( 1 , p ) \mathcal{B}(1,p) B ( 1 , p ) 4
Remarque Arbre
On peut représenter le schéma par un arbre : chaque nœud donne deux branches, succès et échec, et n n n B ( n , p ) \mathcal{B}(n,p) B ( n , p ) 5 ( n k ) \binom{n}{k} ( k n ) k k k
Calculer une probabilité Théorème Formule
Si X X X B ( n , p ) \mathcal{B}(n,p) B ( n , p ) k k k 0 0 0 n n n
P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k} P ( X = k ) = ( k n ) p k ( 1 − p ) n − k
Elle s'exprime à l'aide des coefficients binomiaux 3
Méthode Méthode
Identifier l'épreuve, le succès et sa probabilité p p p
Compter les répétitions n n n
Écrire « X X X B ( n , p ) \mathcal{B}(n,p) B ( n , p )
Appliquer la formule, ou la calculatrice.
Exemple Exemple : trois lancers de dé
On lance 3 fois un dé équilibré et on note X X X 1 6 \frac{1}{6} 6 1 5 X ∼ B ( 3 , 1 6 ) X\sim\mathcal{B}\left(3,\frac{1}{6}\right) X ∼ B ( 3 , 6 1 )
P ( X = 1 ) = ( 3 1 ) × 1 6 × ( 5 6 ) 2 = 75 216 ≈ 0,347 P(X=1)=\binom{3}{1}\times\frac{1}{6}\times\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{75}{216}\approx 0{,}347 P ( X = 1 ) = ( 1 3 ) × 6 1 × ( 6 5 ) 2 = 216 75 ≈ 0 , 347
Le 3 devant correspond aux trois positions possibles du 1 : premier, deuxième ou troisième lancer 5
Attention, erreur fréquente Piège fréquent
Oublier le coefficient ( n k ) \binom{n}{k} ( k n ) P ( X ≥ 1 ) = 1 − ( 1 − p ) n P(X\geq 1)=1-(1-p)^n P ( X ≥ 1 ) = 1 − ( 1 − p ) n
Espérance, variance, écart type Propriété Valeurs caractéristiques
Pour X ∼ B ( n , p ) X\sim\mathcal{B}(n,p) X ∼ B ( n , p )
E ( X ) = n p V ( X ) = n p ( 1 − p ) σ ( X ) = n p ( 1 − p ) E(X)=np\qquad V(X)=np(1-p)\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} E ( X ) = n p V ( X ) = n p ( 1 − p ) σ ( X ) = n p ( 1 − p )
Ces résultats viennent de l'écriture de X X X 4 3
Exemple Exemple
Pour X ∼ B ( 3 , 1 6 ) X\sim\mathcal{B}(3,\frac{1}{6}) X ∼ B ( 3 , 6 1 ) E ( X ) = 3 × 1 6 = 0,5 E(X)=3\times\frac{1}{6}=0{,}5 E ( X ) = 3 × 6 1 = 0 , 5
Rédiger au bac Méthode Justifier la loi binomiale
Les sujets demandent de justifier qu'une variable suit une loi binomiale et d'en préciser les paramètres 2
l'épreuve n'a que deux issues (succès et échec) ;
la probabilité de succès est la même à chaque répétition ;
les répétitions sont indépendantes.
Conclus par : « X X X n = … n=\dots n = … p = … p=\dots p = …
Attention, erreur fréquente Quand ce n'est pas binomial
Un tirage sans remise dans une urne change la probabilité à chaque tirage : les répétitions ne sont pas indépendantes, donc la loi n'est pas binomiale.
À retenir Contexte historique
La loi binomiale fait partie des plus anciennes lois de probabilité étudiées ; Jacques Bernoulli y fait référence en 1713 dans l'Ars Conjectandi 5
Questions flash 4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On lance 10 fois une pièce équilibrée. Quelle est la loi du nombre de « face » ?
B ( 10 ; 0,5 ) \mathcal{B}(10;\,0{,}5) B ( 10 ; 0 , 5 ) B ( 0,5 ; 10 ) \mathcal{B}(0{,}5;\,10) B ( 0 , 5 ; 10 ) Loi de Bernoulli de paramètre 0,5 0{,}5 0 , 5 B ( 2 ; 0,5 ) \mathcal{B}(2;\,0{,}5) B ( 2 ; 0 , 5 ) Valider
On répète 10 épreuves indépendantes de succès 0,5 0{,}5 0 , 5 B ( 10 ; 0,5 ) \mathcal{B}(10;0{,}5) B ( 10 ; 0 , 5 ) n n n p p p
Soit X ∼ B ( 20 ; 0,3 ) X\sim\mathcal{B}(20;\,0{,}3) X ∼ B ( 20 ; 0 , 3 )
Ta réponse Valider
E ( X ) = n p = 20 × 0,3 = 6 E(X)=np=20\times0{,}3=6 E ( X ) = n p = 20 × 0 , 3 = 6 n p ( 1 − p ) = 4,2 np(1-p)=4{,}2 n p ( 1 − p ) = 4 , 2
Une urne contient 5 boules rouges et 5 noires. On tire 3 boules sans remise : le nombre de boules rouges suit une loi binomiale.
Vrai Faux Valider
Faux : sans remise, la composition de l'urne change après chaque tirage, donc la probabilité de succès varie et les tirages ne sont pas indépendants. Avec remise, la loi serait B ( 3 ; 0,5 ) \mathcal{B}(3;0{,}5) B ( 3 ; 0 , 5 )
Pour X ∼ B ( 3 ; 1 6 ) X\sim\mathcal{B}(3;\frac{1}{6}) X ∼ B ( 3 ; 6 1 ) P ( X = 2 ) P(X=2) P ( X = 2 )
( 3 2 ) ( 1 6 ) 2 × 5 6 \binom{3}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\frac{5}{6} ( 2 3 ) ( 6 1 ) 2 × 6 5 ( 1 6 ) 2 × 5 6 \left(\frac{1}{6}\right)^2\times\frac{5}{6} ( 6 1 ) 2 × 6 5 ( 3 2 ) × 1 6 × ( 5 6 ) 2 \binom{3}{2}\times\frac{1}{6}\times\left(\frac{5}{6}\right)^2 ( 2 3 ) × 6 1 × ( 6 5 ) 2 ( 2 3 ) ( 1 6 ) 2 × 5 6 \binom{2}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\frac{5}{6} ( 3 2 ) ( 6 1 ) 2 × 6 5 Valider
Il faut k = 2 k=2 k = 2 p p p n − k = 1 n-k=1 n − k = 1 1 − p 1-p 1 − p ( 3 2 ) = 3 \binom{3}{2}=3 ( 2 3 ) = 3 ( 2 3 ) \binom{2}{3} ( 3 2 )
Les questions qu'on se pose Comment savoir si je dois utiliser la loi binomiale ? Cherche un nombre de succès dans une répétition d'épreuves identiques et indépendantes, chacune à deux issues 3 5
Quelle différence entre loi de Bernoulli et loi binomiale ? La loi de Bernoulli décrit une épreuve (valeurs 0 ou 1) ; la loi binomiale compte les succès sur n n n 4 5 B ( 1 , p ) \mathcal{B}(1,p) B ( 1 , p ) 4
Faut-il savoir démontrer l'espérance $np$ ? Ce qui compte surtout est de savoir l'utiliser. L'idée de la preuve tient en une ligne : X X X n n n p p p 4
Signaler une erreur sur cette page Imprimer