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Succession d'épreuves indépendantes : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux expériences qui se suivent sont indépendantes quand ce qui sort de la première ne change rien aux probabilités de la seconde ¹.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ a deux issues, succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1-p$ ) ².
Reproduire $n$ fois, sans influence mutuelle, une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ donne un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ ².
La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées ; celle d'un événement est la somme des chemins qui le réalisent.
Pour « exactement $k$ succès », on multiplie la probabilité d'un chemin par le nombre de chemins : $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .
Pour « au moins un succès », on passe par le contraire : $1-(1-p)^n$ .

Répéter une expérience : de quoi parle-t-on ?

Lancer une pièce trois fois, tirer une carte avec remise, interroger dix personnes au hasard, tester cinq pièces sortant d'une chaîne de fabrication : dans tous ces cas, on répète une expérience aléatoire. La question du chapitre est simple : comment calculer la probabilité d'un résultat global (par exemple « deux piles sur trois lancers ») à partir de ce que l'on sait de chaque expérience prise seule ?

La réponse dépend d'une condition essentielle : les expériences se répètent-elles sans s'influencer ? Si oui, on dit qu'elles sont indépendantes, et le calcul devient très agréable. Sinon, il faut raisonner avec des probabilités conditionnelles, comme tu l'as fait en classe de Première.

Cette idée se traduit en langage de probabilités : connaître l'issue de la première expérience ne modifie en rien les probabilités des issues de la seconde. Pour une pièce, savoir que le premier lancer a donné pile ne change pas la probabilité d'obtenir pile au deuxième : la pièce n'a pas de mémoire.

Attention : l'indépendance n'est pas une propriété qu'on « constate » sur une seule expérience. C'est une hypothèse de modélisation que l'énoncé t'impose (« on lance deux fois de suite », « les tirages se font avec remise », « les épreuves sont indépendantes ») ou que tu justifies par la situation concrète.

L'épreuve de Bernoulli : deux issues, un paramètre

Beaucoup d'expériences se résument à une alternative : réussi ou raté, pile ou face, défectueux ou conforme, vote « oui » ou autre chose. Le modèle correspondant s'appelle l'épreuve de Bernoulli.

Le mot « succès » est une convention de langage, pas un jugement de valeur. Dans un contrôle qualité, tu peux très bien appeler « succès » le fait de tomber sur une pièce défectueuse si c'est elle que tu comptes. Un exemple typique est le lancer d'une pièce de monnaie, éventuellement truquée : on appelle succès l'obtention de pile, avec la probabilité $p$ , et échec l'obtention de face, avec la probabilité $1-p$ ².

ExempleReconnaître et paramétrer une épreuve de Bernoulli

Situation 1. On lance un dé équilibré à six faces et on s'intéresse à l'obtention d'un 6. Il y a deux issues : « 6 » (succès) et « pas 6 » (échec). C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{1}{6}$ , et l'échec a pour probabilité $\dfrac{5}{6}$ .

Situation 2. Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On tire une boule au hasard et on appelle succès « la boule est rouge ». Comme les boules sont indiscernables au toucher, $p=\dfrac{3}{10}$ et $1-p=\dfrac{7}{10}$ .

Situation 3. On lance un dé et on note le résultat. Il y a six issues, mais si l'on ne retient que « le résultat est pair » contre « le résultat est impair », on obtient une épreuve de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$ . Regrouper des issues permet donc de se ramener à deux issues.

Le schéma de Bernoulli

On répète maintenant la même épreuve plusieurs fois, en gardant les mêmes conditions à chaque répétition et sans que les répétitions s'influencent.

Pour vérifier qu'une situation relève d'un schéma de Bernoulli, tu contrôles trois points :

chaque répétition est une épreuve de Bernoulli (deux issues : succès ou échec) ;
la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition ;
les répétitions sont indépendantes.

Si l'un de ces points échoue, le modèle ne s'applique pas tel quel.

Représenter la répétition par un arbre pondéré

Pour visualiser une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, on construit un arbre de probabilité. Chaque épreuve correspond à un niveau de l'arbre : de chaque nœud partent deux branches, l'une étiquetée $S$ (succès) et pondérée par $p$ , l'autre étiquetée $\overline{S}$ (échec) et pondérée par $1-p$ . Pour $n$ épreuves, l'arbre comporte $2^n$ branches finales ².

La grande particularité du cas indépendant est la suivante : les pondérations sont les mêmes à tous les niveaux, quel que soit le chemin déjà parcouru. C'est exactement ce que traduit l'indépendance : ce qui s'est passé avant ne modifie pas les probabilités des branches suivantes ¹.

ExempleArbre pour trois épreuves

Pour $n=3$ , il y a $2^3=8$ chemins complets, que l'on peut lister en notant $S$ pour un succès et $F$ pour un échec :

Chemin	Nombre de succès
SSS	3
SSF, SFS, FSS	2
SFF, FSF, FFS	1
FFF	0

Le nombre de chemins ayant $k$ succès est le nombre de façons de choisir les $k$ positions des succès parmi les $n$ épreuves, soit $\binom{n}{k}$ . On retrouve bien $1+3+3+1=8=2^3$ , les coefficients de la ligne 3 du triangle de Pascal.

Calculer la probabilité d'un chemin

Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. Dans le cas d'épreuves indépendantes, cette règle se justifie directement : à chaque étape, la probabilité de la branche suivante ne dépend pas de ce qui précède, donc la probabilité d'une suite de résultats est le produit des probabilités de chacun.

Pour un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , un chemin comportant exactement $k$ succès et donc $n-k$ échecs a pour probabilité :

$p^k\,(1-p)^{n-k}$

Peu importe l'ordre dans lequel les succès apparaissent : SSF, SFS et FSS ont tous la même probabilité $p^2(1-p)$ .

Exactement k succès : compter les chemins

On veut maintenant la probabilité de l'événement « obtenir exactement $k$ succès en $n$ épreuves ». Cet événement est la réunion de tous les chemins comportant $k$ succès. Ces chemins sont deux à deux incompatibles, donc leurs probabilités s'additionnent. Comme ils ont tous la même probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ , il suffit de la multiplier par leur nombre.

Démonstration · Pourquoi ce produit ?

Un chemin à $k$ succès est déterminé par l'emplacement des succès : on choisit $k$ numéros d'épreuves parmi $n$ , ce qui donne $\binom{n}{k}$ chemins. Chacun a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ (produit de $k$ facteurs $p$ et de $n-k$ facteurs $1-p$ ). Les chemins étant incompatibles, la probabilité de l'événement est la somme de $\binom{n}{k}$ termes égaux, d'où le résultat.

Au moins un succès : passer par l'événement contraire

Pour « au moins un succès », il faudrait additionner les probabilités de $1$ , $2$ , …, $n$ succès : un calcul long. Il est bien plus rapide de remarquer que le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », c'est-à-dire un seul chemin : celui où toutes les épreuves donnent un échec.

Pièges : remise, dépendance, paramètre variable

Rédiger une solution complète au bac

ExempleExemple complet rédigé

Énoncé. Une machine produit des pièces. Chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}05$ , indépendamment des autres. On prélève 10 pièces. Quelle est la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse ? Qu'au moins une le soit ?

Solution. On prélève 10 pièces de façon indépendante ; pour chacune, le succès est « la pièce est défectueuse », de probabilité $p=0{,}05$ . C'est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=10$ et $p=0{,}05$ .

La probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse est celle du chemin FFF…F : $0{,}95^{10}\approx 0{,}599$ .

Par événement contraire, la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse est $1-0{,}95^{10}\approx 0{,}401$ .

Conclusion. Il y a environ 60 % de chances qu'un lot de 10 pièces soit sans défaut, et environ 40 % qu'il en contienne au moins une défectueuse.

Exercices corrigés

Exercice 1 Trois six de suite

★☆☆Environ 5 min

On lance trois fois un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 à chacun des trois lancers ?

Indice 1

Définis le succès et son paramètre $p$ .

Indice 2

Les lancers sont indépendants : multiplie les probabilités.

Voir la correction pas à pas

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{1}{6}$ (succès : obtenir un 6).
On répète 3 fois de façon indépendante : c'est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$ .
Le seul chemin favorable est SSS, de probabilité $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}$ .
Calcul : $\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}\approx 0{,}0046$ .

La probabilité d'obtenir trois 6 de suite est $\dfrac{1}{216}$ , soit environ $0{,}46\,\%$ .

Exercice 2 Une pièce truquée

★★☆Environ 8 min

Une pièce truquée donne pile avec la probabilité $0{,}3$ . On la lance 4 fois, de façon indépendante. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un pile ?

Indice 1

Combien de chemins comportent exactement un succès parmi quatre épreuves ?

Indice 2

Probabilité d'un chemin : un facteur $0{,}3$ et trois facteurs $0{,}7$ .

Voir la correction pas à pas

On modélise par un schéma de Bernoulli de paramètres $n=4$ et $p=0{,}3$ (succès : pile).
Le nombre de chemins avec exactement un succès est $\binom{4}{1}=4$ : le pile peut tomber au 1er, 2e, 3e ou 4e lancer.
Chaque chemin a pour probabilité $0{,}3\times0{,}7^3=0{,}1029$ .
On additionne les 4 chemins incompatibles : $4\times0{,}3\times0{,}7^3=0{,}4116$ .

La probabilité d'obtenir exactement un pile est $0{,}4116$ , soit environ $41\,\%$ .

Exercice 3 Au moins un défaut

★★★Environ 10 min

Un composant électronique est défectueux avec la probabilité $0{,}2$ , indépendamment des autres composants. On prélève 5 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins un soit défectueux ?

Indice 1

Quel est l'événement contraire de « au moins un défectueux » ?

Indice 2

Probabilité qu'un composant soit conforme : $0{,}8$ .

Voir la correction pas à pas

Schéma de Bernoulli de paramètres $n=5$ et $p=0{,}2$ (succès : le composant est défectueux).
L'événement contraire est « aucun composant défectueux », un seul chemin : FFFFF.
Sa probabilité est $0{,}8^5=0{,}32768$ .
Par passage au contraire : $1-0{,}8^5=0{,}67232$ .

La probabilité qu'au moins un composant soit défectueux est $0{,}67232$ , soit environ $67\,\%$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si des épreuves sont indépendantes ?

Cherche si l'issue de l'une peut changer les probabilités de l'autre ¹. Les mots de l'énoncé guident : « avec remise », « indépendamment », « on relance » indiquent l'indépendance ; « sans remise » ou « simultanément » indiquent le contraire. Quand l'énoncé le précise, on le recopie dans la modélisation.

Quelle différence entre un chemin et l'événement « exactement k succès » ?

Un chemin est une suite précise de résultats, comme SSFS, de probabilité $p^3(1-p)$ . L'événement « exactement 3 succès sur 4 » rassemble tous les chemins qui contiennent trois succès, soit $\binom{4}{3}=4$ chemins. Sa probabilité est donc $4p^3(1-p)$ : il faut multiplier par le nombre de chemins.

Pourquoi passer par l'événement contraire pour « au moins un » ?

Parce que « au moins un succès » regroupe tous les cas sauf un : « aucun succès ». Calculer ce seul chemin, de probabilité $(1-p)^n$ , est bien plus court que d'additionner les cas à $1$ , $2$ , …, $n$ succès. On obtient $1-(1-p)^n$ .

À quoi sert ce chapitre pour la suite ?

Il prépare la loi binomiale : le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ ². Les calculs « exactement $k$ succès » de ce cours en sont la base. Au bac, on te demande souvent de justifier que la situation est un schéma de Bernoulli avant de calculer.

Dois-je toujours dessiner l'arbre ?

Non. Pour un petit nombre d'épreuves, un arbre aide à compter et à vérifier. Au-delà de quatre ou cinq épreuves, il devient illisible : on raisonne alors directement avec le produit des probabilités sur un chemin et le nombre de chemins. Garde en tête que l'arbre complet compte $2^n$ branches ².

Sources

Révisions probabilités conditionnelles et indépendance, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Épreuve de Bernoulli, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Au moins un succès : passer par l'événement contraire

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