Succession d'épreuves indépendantes : exercices de Terminale

Le lancer d'une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\frac12$ (succès : obtenir pile).

Les trois lancers sont indépendants : on est dans un schéma de Bernoulli avec $n=3$.

Un seul chemin de l'arbre donne PPP. Sa probabilité est le produit des probabilités de ses trois branches : $\frac12\times\frac12\times\frac12$.

On obtient $\left(\frac12\right)^3=\frac18=0{,}125$.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec succès « pile » de probabilité $p=0{,}3$ ; l'échec « face » a pour probabilité $1-p=0{,}7$.

Les deux lancers sont indépendants, donc on multiplie les probabilités le long du chemin P puis F.

$0{,}3\times 0{,}7 = 0{,}21$.

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès ou échec.

Le premier niveau de l'arbre a 2 branches, le deuxième niveau en a $2\times 2$, et ainsi de suite.

Après cinq épreuves, l'arbre a $2^5$ rameaux finaux, ce qui est cohérent avec le résultat du cours pour $n$ épreuves. ²

$2^5=32$.

Les quatre lancers forment un schéma de Bernoulli avec $n=4$ et $p=0{,}6$ (succès : pile).

L'événement contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire « quatre faces ».

La probabilité de face est $1-0{,}6=0{,}4$. Un seul chemin convient, donc la probabilité de quatre faces est $0{,}4^4=0{,}0256$.

On en déduit $P(\text{au moins un pile}) = 1-0{,}0256 = 0{,}9744$.

Le schéma est de Bernoulli avec $n=4$ et $p=\frac12$.

Un chemin qui contient deux piles et deux faces a pour probabilité $\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^2=\frac1{16}$, quel que soit l'ordre des résultats.

Le nombre de chemins se compte en choisissant la place des deux piles parmi quatre lancers : $\binom42=6$.

$P=6\times\frac1{16}=\frac38=0{,}375$.

Comme la boule est remise, la composition de l'urne est la même à chaque tirage : un tirage ne modifie pas les probabilités du suivant, les tirages sont indépendants. ¹

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec succès « rouge » : $p=\frac35$ et $1-p=\frac25$. On est dans un schéma de Bernoulli avec $n=3$. ²

Un chemin comportant une rouge et deux bleues a pour probabilité $\frac35\times\left(\frac25\right)^2$.

Il y a $\binom31=3$ chemins de ce type (la rouge au premier, deuxième ou troisième tirage).

$P=3\times\frac35\times\frac4{25}=\frac{36}{125}=0{,}288$.

Avec remise, les deux tirages sont indépendants et chacun donne rouge avec la probabilité $\frac35$ : $P=\frac35\times\frac35=\frac9{25}=0{,}36$.

Sans remise, après une première rouge il reste 2 rouges sur 4 boules : la probabilité de la deuxième rouge devient $\frac24$. Le premier tirage modifie le second, donc les tirages ne sont pas indépendants et on ne peut pas utiliser le même produit.

$P=\frac35\times\frac24=\frac3{10}=0{,}3$.

L'écart vaut $0{,}36-0{,}3=0{,}06$.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec $p=\frac16$ ; les $n$ lancers forment un schéma de Bernoulli. ²

L'événement contraire de « au moins un 6 » est « aucun 6 en $n$ lancers », de probabilité $\left(\frac56\right)^n$. Donc $P(\text{au moins un 6})=1-\left(\frac56\right)^n$.

On veut $1-\left(\frac56\right)^n>0{,}9$, soit $\left(\frac56\right)^n<0{,}1$.

On applique $\ln$, croissante : $n\ln\frac56<\ln 0{,}1$. Comme $\ln\frac56<0$, on divise en changeant le sens : $n>\frac{\ln 0{,}1}{\ln\frac56}\approx 12{,}6$.

Le plus petit entier qui convient est $n=13$. Vérification : $\left(\frac56\right)^{12}\approx 0{,}112$ (trop grand), $\left(\frac56\right)^{13}\approx 0{,}093$ (convient).