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Logarithme népérien : propriétés algébriques, fiche de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le logarithme népérien $\ln$ est défini sur $]0\,;+\infty[$ ; c'est la réciproque de l'exponentielle : $\ln x = y \iff x = e^y$ ².
$\ln(1)=0$ , et $(\ln)'(x)=\dfrac{1}{x}$ pour tout $x>0$ ².
Le produit devient une somme : $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ ². On en déduit $\ln\frac{1}{x}=-\ln x$ , $\ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y$ et $\ln(x^n)=n\ln x$ .
Avant d'écrire un $\ln$ , vérifie que son argument est strictement positif ; $\ln(x+y)$ n'est pas $\ln x+\ln y$ .

Définition à connaître

Les propriétés algébriques

Démonstration · Pourquoi cette égalité est vraie

Fixe $y>0$ et considère $g : x\mapsto \ln(xy)$ sur $]0\,;+\infty[$ . Par dérivation d'une composée, $g'(x)=y\times\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}$ . Les fonctions $g$ et $\ln$ ont donc la même dérivée : elles diffèrent d'une constante $k$ , soit $\ln(xy)=\ln x+k$ ². En $x=1$ : $\ln y=\ln 1+k=k$ . D'où $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ .

PropriétéConséquences à savoir utiliser

Pour $x>0$ , $y>0$ et $n$ entier :

$\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x$ ;
$\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ ;
$\ln(x^n)=n\ln x$ ;
$\ln(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\ln x$ .

On les obtient en partant de la règle du produit. Pour la première : $x\times\frac1x=1$ , donc $\ln x+\ln\frac1x=\ln 1=0$ . Le quotient s'en déduit en écrivant $\frac{x}{y}=x\times\frac1y$ . La puissance vient de l'application répétée de la règle du produit. Pour la racine : $\ln x=\ln(\sqrt x\times\sqrt x)=2\ln\sqrt x$ .

Méthode : transformer une expression

À retenir pour le bac

Les questions qu'on se pose

Pourquoi $\ln(x^2)$ ne vaut-il pas toujours $2\ln x$ ?

Parce que $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ . Si $x$ est négatif, $\ln x$ n'est pas défini alors que $\ln(x^2)$ l'est (pour $x\neq0$ ). Dans ce cas, on écrit $\ln(x^2)=2\ln|x|$ . La règle $\ln(x^n)=n\ln x$ s'utilise donc avec $x>0$ .

Comment savoir quand utiliser l'exponentielle pour résoudre une équation avec ln ?

Dès que l'inconnue est dans un $\ln$ et que tu veux la libérer, applique l'exponentielle des deux côtés : $\ln x=a\iff x=e^a$ , puisque les deux fonctions sont réciproques ². Si au contraire l'inconnue est dans un exposant, on applique $\ln$ . Pense toujours à vérifier que les solutions respectent les conditions d'existence.

Dois-je savoir démontrer $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ au bac ?

La preuve repose sur une dérivée et une constante : deux fonctions de dérivée égale sur un intervalle diffèrent d'une constante ². Elle est classique et peut être demandée, mais l'essentiel est de maîtriser l'utilisation de la formule dans les calculs.

Sources

Activité d'approche autour de la fonction logarithme népérien, Éduscol (Édubase). Consulté le 6 novembre 2026.
Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Logarithme complexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Règle	Formule
Valeur en 1	$\ln 1=0$
Produit	$\ln(xy)=\ln x+\ln y$
Inverse	$\ln\frac1x=-\ln x$
Quotient	$\ln\frac xy=\ln x-\ln y$
Puissance	$\ln(x^n)=n\ln x$
Dérivée	$(\ln)'(x)=\frac1x$
Réciproque	$\ln x=y\iff x=e^y$

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