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Définition et propriétés du logarithme népérien : cours de Terminale

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour $x>0$ , $\ln(x)$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y=x$ : le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle, et il n'existe que sur $]0\,;+\infty[$ .
On a $\ln(1)=0$ , $\ln(e)=1$ , $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$ et $\ln(e^y)=y$ pour tout réel $y$ ; la dérivée de $\ln$ est $x\mapsto \frac1x$ , donc $\ln$ est strictement croissante.
Propriétés algébriques ( $a>0$ , $b>0$ , $n$ entier) : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln\frac1a=-\ln a$ , $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ , $\ln(a^n)=n\ln a$ , $\ln\sqrt a=\frac12\ln a$ .
Pour résoudre : fixer d'abord l'ensemble de définition, transformer avec les propriétés, utiliser $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a<\ln b\iff a<b$ , puis vérifier que les solutions sont dans le domaine.

Introduction : pourquoi un nouveau type de fonction ?

Tu connais la fonction exponentielle : elle transforme une somme en produit, car $e^{a+b}=e^a\times e^b$ . Elle sait donc répondre à la question « que vaut $e^3$ ? ». Mais comment répondre à la question inverse : « à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir $20$ ? » Cette puissance existe, et on lui donne un nom : c'est le logarithme népérien de $20$ .

Le logarithme népérien d'un nombre $x$ se définit en effet comme la puissance à laquelle il faut élever $e$ pour obtenir $x$ ; la fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle ². Ce chapitre pose cette définition, en tire les valeurs particulières, puis démontre les propriétés algébriques qui font du logarithme un outil de calcul puissant : il transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications.

Cette idée n'est pas récente. Les historiens font généralement remonter les logarithmes népériens à l'année 1647 : Grégoire de Saint-Vincent étudie alors l'aire sous une hyperbole, et la fonction qu'il met au jour change les produits en sommes ². Cette propriété d'additivité, c'est celle que tu vas démontrer plus bas : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

Définition du logarithme népérien

Pourquoi existe-t-il un seul $y$ tel que $e^y=x$ ? Parce que l'exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et prend toutes les valeurs strictement positives (et seulement elles). Chaque réel $x>0$ possède donc exactement un antécédent par l'exponentielle. Cet antécédent, c'est $\ln(x)$ .

Relations fondamentales et valeurs particulières

Dérivée, sens de variation et signe

Démonstration · Pourquoi la dérivée vaut $\frac1x$ (via la réciproque)

On part de $e^{\ln(x)}=x$ pour $x>0$ et on admet que $\ln$ est dérivable. En dérivant les deux membres avec la formule de dérivation d'une composée : $\ln'(x)\times e^{\ln(x)}=1$ . Comme $e^{\ln(x)}=x$ , on obtient $\ln'(x)\times x=1$ , donc $\ln'(x)=\frac1x$ .

Courbe représentative de la fonction logarithme népérien · La courbe de ln passe par (1 ; 0) : ln est négative sur ]0 ; 1[ et positive sur ]1 ; +∞[.

La propriété fondamentale : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$

Démonstration · Preuve par l'exponentielle

Posons $u=\ln a+\ln b$ . Calculons $e^u$ avec la propriété $e^{p+q}=e^p\times e^q$ : $e^{u}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=a\times b.$ Ainsi $u$ est un réel dont l'exponentielle vaut $ab$ . Or $\ln(ab)$ est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $ab$ . Donc $u=\ln(ab)$ , c'est-à-dire $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

Démonstration · Preuve par la dérivée

Un autre raisonnement part de la dérivée ². Fixons $b>0$ et considérons $x\mapsto\ln(bx)$ . Sa dérivée est $b\times\frac1{bx}=\frac1x$ , la même que celle de $\ln$ . Deux fonctions de même dérivée sur un intervalle diffèrent d'une constante $k$ : $\ln(bx)=\ln(x)+k$ pour tout $x>0$ . En prenant $x=1$ : $\ln(b)=\ln(1)+k=k$ . D'où $\ln(bx)=\ln(x)+\ln(b)$ .

Inverse, quotient, puissance et racine

Démonstration · Preuves à partir de $\ln(ab)=\ln a+\ln b$

1. On applique la propriété du produit à $a$ et $\frac1a$ : $\ln\left(a\times\frac1a\right)=\ln a+\ln\frac1a$ . Or $a\times\frac1a=1$ et $\ln 1=0$ . Donc $\ln\frac1a=-\ln a$ .

2. $\ln\frac ab=\ln\left(a\times\frac1b\right)=\ln a+\ln\frac1b=\ln a-\ln b$ .

3. Pour $n$ entier naturel, on raisonne par récurrence. Pour $n=0$ : $\ln(a^0)=\ln 1=0=0\times\ln a$ . Si $\ln(a^n)=n\ln a$ pour un entier $n$ fixé, alors $\ln(a^{n+1})=\ln(a^n\times a)=\ln(a^n)+\ln a=n\ln a+\ln a=(n+1)\ln a$ . La propriété est initialisée et héréditaire : elle est vraie pour tout entier naturel $n$ . Pour $n$ négatif, on écrit $a^{n}=\frac1{a^{-n}}$ et on utilise le point 1.

4. Posons $s=\sqrt a$ , donc $s^2=a$ et $s>0$ . Alors $\ln a=\ln(s^2)=2\ln s$ , d'où $\ln s=\frac12\ln a$ .

Résoudre équations et inéquations

DomaineChaque argument d'un ln doit être strictement positif.
TransformerRegrouper en un seul ln de chaque côté.
RésoudrePasser à A = B, ou A = e^k.
VérifierRejeter ce qui sort du domaine.

Résoudre une équation avec des logarithmes

Applications : suites et seuils

Le logarithme sert à sortir un exposant. Comme $\ln$ est strictement croissante, on peut l'appliquer aux deux membres d'une inégalité entre nombres positifs sans changer le sens. C'est la clé pour résoudre une inéquation du type $q^n>A$ avec $q>1$ , inconnue $n$ .

Bilan, pièges et repères pour la suite

Dans les chapitres suivants, tu étudieras la fonction $\ln$ plus en détail (limites, dérivée de $\ln u$ , convexité), puis les croissances comparées et le logarithme décimal. Tout repose sur ce que tu viens de voir : la définition par la réciproque de l'exponentielle, la dérivée $\frac1x$ , et l'équation fonctionnelle $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Développer un logarithme

★☆☆Environ 8 min

On donne les valeurs approchées $\ln 2\approx0{,}693$ et $\ln 3\approx1{,}099$ .

Exprime $\ln 12$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ .
Donne une valeur approchée de $\ln 12$ .

Indice 1

Décompose $12$ en produit de puissances de $2$ et de $3$ .

Indice 2

Utilise $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ puis $\ln(a^n)=n\ln a$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $12=2^2\times3$ .
On applique la propriété du produit : $\ln12=\ln(2^2)+\ln3$ .
On applique la propriété de la puissance : $\ln(2^2)=2\ln2$ , donc $\ln12=2\ln2+\ln3$ .
On remplace par les valeurs données : $2\times0{,}693+1{,}099=1{,}386+1{,}099=2{,}485$ .

On obtient $\ln12=2\ln2+\ln3\approx2{,}485$ .

Exercice 2 Résoudre une équation avec condition d'existence

★★☆Environ 12 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(8)$ . Donne la solution trouvée.

Indice 1

Cherche d'abord pour quelles valeurs de $x$ les deux logarithmes existent.

Indice 2

Regroupe les deux logarithmes en un seul, puis utilise l'équivalence $\ln A=\ln B\iff A=B$ .

Voir la correction pas à pas

Domaine : on exige $x>0$ et $x-2>0$ , donc $x>2$ .
On regroupe : $\ln\big(x(x-2)\big)=\ln8$ .
Sur le domaine, cela équivaut à $x(x-2)=8$ , soit $x^2-2x-8=0$ .
Le discriminant vaut $4+32=36$ , donc $x=\frac{2-6}{2}=-2$ ou $x=\frac{2+6}{2}=4$ .
On rejette $-2$ , qui n'est pas supérieur à $2$ . On garde $4$ et on vérifie : $\ln4+\ln2=\ln8$ .

L'ensemble des solutions est $\{4\}$ .

Exercice 3 Seuil avec une suite géométrique

★★★Environ 15 min

Une population de bactéries augmente de $20\,\%$ chaque heure. Au départ, elle compte $500$ individus. Au bout de $n$ heures, elle compte $500\times1{,}2^n$ individus. On donne $\ln 10\approx2{,}3026$ , $\ln 2\approx0{,}6931$ et $\ln 1{,}2\approx0{,}1823$ .

Détermine le plus petit entier $n$ tel que la population dépasse $5\,000$ individus.

Indice 1

Écris l'inéquation $500\times1{,}2^n>5000$ et isole $1{,}2^n$ .

Indice 2

Applique $\ln$ aux deux membres, puis divise par $\ln 1{,}2$ : quel est son signe ?

Voir la correction pas à pas

On isole la puissance : $1{,}2^n>\frac{5000}{500}=10$ .
On applique $\ln$ (croissante) : $\ln(1{,}2^n)>\ln10$ , soit $n\ln1{,}2>\ln10$ .
Comme $1{,}2>1$ , on a $\ln1{,}2>0$ : on divise sans changer le sens, $n>\frac{\ln10}{\ln1{,}2}$ .
Numériquement, $\frac{2{,}3026}{0{,}1823}\approx12{,}63$ .
Le plus petit entier strictement supérieur à $12{,}63$ est $13$ .

Il faut $13$ heures pour que la population dépasse $5\,000$ individus.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne peut-on pas calculer $\ln(-2)$ ?

Parce que $\ln(x)$ est défini comme le réel $y$ tel que $e^y=x$ ², et une exponentielle est toujours strictement positive. Aucun réel $y$ ne vérifie $e^y=-2$ . Dans l'enseignement supérieur, on peut étendre le logarithme aux nombres complexes, mais la fonction obtenue perd des propriétés du logarithme réel ³. En Terminale, $\ln$ ne s'applique qu'aux réels strictement positifs.

Quelle différence entre $\ln$ et $\log$ ?

Le symbole $\ln$ désigne le logarithme népérien, de base $e$ . Le logarithme décimal, noté $\log$ , sera vu plus tard : c'est un autre logarithme, associé à la base $10$ , qui s'exprime à partir de $\ln$ . Pour l'instant, travaille exclusivement avec $\ln$ .

À quoi sert le logarithme concrètement ?

Il permet de résoudre des équations où l'inconnue est un exposant, par exemple « au bout de combien d'années un capital double-t-il ? » ou « à partir de quand une population dépasse-t-elle un seuil ? ». Comme il transforme les produits en sommes et les puissances en multiplications, il simplifie aussi les calculs et l'étude de fonctions.

Pourquoi faut-il toujours chercher l'ensemble de définition avant de résoudre ?

Parce que les transformations comme $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ peuvent élargir l'ensemble des valeurs acceptables : $\ln(ab)$ peut exister alors que $\ln a$ et $\ln b$ n'existent pas. Dans l'exemple $\ln x+\ln(x-1)=\ln6$ , la racine $-2$ de l'équation du second degré n'est pas solution de l'équation de départ. Au Bac, ne pas justifier le domaine fait perdre des points.

Comment savoir si une inégalité change de sens ?

Appliquer $\ln$ aux deux membres d'une inégalité entre nombres strictement positifs ne change pas le sens, car $\ln$ est strictement croissante. Le sens change seulement quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif, par exemple en divisant par $\ln q$ avec $0<q<1$ . Vérifie toujours le signe avant de diviser.

Sources

Activité d'approche autour de la fonction logarithme népérien, Éduscol (Édubase). Consulté le 6 novembre 2026.
Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Logarithme complexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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