Quiz : définition et propriétés du logarithme népérien (Terminale)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le logarithme népérien ln est défini sur ]0;+∞[ : c'est la primitive de x↦x1 qui s'annule en 1, et la réciproque de l'exponentielle.
Sa dérivée est x1 et, pour x>0 et y>0, ln(xy)=lnx+lny.
On en déduit lnx1=−lnx, lnyx=lnx−lny et ln(xn)=nlnx pour tout entier n.
Avant toute équation avec ln, on vérifie que les quantités dans le logarithme sont strictement positives.
ln(a+b) ne se transforme pas en lna+lnb : seule la multiplication devient une addition.
Avant de commencer
Ce quiz couvre la définition de la fonction logarithme népérien et ses propriétés algébriques : ensemble de définition, lien avec l'exponentielle, dérivée, transformation des produits, quotients et puissances, puis résolution d'équations simples. Les questions sont variées : réponse unique, réponses multiples, vrai ou faux et calculs numériques. Lis chaque explication, même quand tu as juste : elle précise souvent le piège qui guettait.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La fonction ln est définie et dérivable sur ]0;+∞[2. Le choix [0;+∞[ est tentant, mais 0 est exclu : il n'existe pas de puissance de e égale à 0, puisque l'exponentielle est toujours strictement positive. Le choix R est faux pour la même raison.
C'est faux : ln n'est définie que pour les réels strictement positifs 2. Beaucoup pensent que ln(0)=0 par confusion avec ln(1)=0, mais 0 n'a pas de logarithme.
Le logarithme népérien de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x2. Dire que cette puissance vaut 5 revient à dire que x=e5. Les autres réponses mélangent e et 5 sans respecter ce sens : 5e est un produit, pas une puissance.
Comme ln est la réciproque de l'exponentielle 2, ln(e4)=4. L'erreur fréquente est de répondre e4≈54,6 : on confond la fonction ln avec l'exponentielle, alors qu'elle l'« annule ».
Pour tout x>0, (ln)′(x)=x12. La réponse ex est tentante car l'exponentielle est sa propre dérivée, mais ln n'est pas l'exponentielle : c'est sa réciproque. Dériver ln ne redonne pas ln.
La propriété ln(xy)=ln(x)+ln(y)2 donne ln(3)+ln(5)=ln(3×5)=ln(15). Écrire ln(8) revient à additionner les nombres dans le logarithme, ce qui n'est pas permis : la somme de logarithmes correspond à un produit.
On a ln(4)+ln(41)=ln(1)=0 d'après la propriété du produit 2, donc ln(41)=−ln(4). La réponse ln41 confond l'inverse du nombre 4 avec l'inverse du nombre ln4 : l'inverse se place dans le logarithme et change le signe.
C'est faux. La propriété algébrique de ln concerne le produit : ln(ab)=ln(a)+ln(b)2. Un contre-exemple : avec a=b=1, ln(1+1)=ln2=0=ln1+ln1.
On écrit 8=23, donc ln(8)=ln(2×2×2)=ln2+ln2+ln2=3ln2 en appliquant trois fois la propriété du produit 2. Le quotient vaut donc 3. L'erreur tentante est de simplifier 8 par 2 pour trouver 4, mais on ne peut pas diviser les nombres à l'intérieur de deux logarithmes séparés.
La première est la propriété fondamentale 2. La deuxième s'en déduit en utilisant ln(b1)=−ln(b). La quatrième vient de ln(a×a)=lna+lna. La troisième est fausse : aucune formule ne relie ln(a+b) à un produit de logarithmes.
On a 2ln3=ln(32)=ln9, puis ln9+ln2=ln(9×2)=ln182. Répondre 12 vient de ln(3×2×2), c'est-à-dire d'un coefficient 2 mal placé : il porte sur le logarithme de 3 seulement et devient un exposant sur 3.
C'est vrai 2. La fonction inverse admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante ; seule celle qui vaut 0 en x=1 est le logarithme népérien. Cela justifie aussi que ln(1)=0.
La condition d'existence est 2x−1>0, soit x>21. Comme ln(1)=02 et que ln est la réciproque de l'exponentielle, ln(2x−1)=0 équivaut à 2x−1=e0=1, donc x=1. Cette valeur vérifie x>21. L'erreur à éviter est de répondre x=0 en posant 2x−1=0 : cela revient à croire que ln(0)=0.
Le logarithme n'existe que pour un nombre strictement positif 2, donc il faut x−2>0, soit x>2. La réponse x⩾2 inclut x=2, qui donnerait ln(0), impossible. La réponse x>0 oublie que la condition porte sur toute l'expression x−2, pas seulement sur x.
La fonction ln est une bijection réciproque de l'exponentielle 2 : deux nombres strictement positifs ayant le même logarithme sont égaux. On peut aussi le voir en passant à l'exponentielle de chaque côté. La réponse x=ey mélange cette égalité avec ln(x)=y.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je peux transformer un $\ln$ avec la propriété du produit ?
Il faut que les deux facteurs soient strictement positifs : la propriété ln(xy)=ln(x)+ln(y) est démontrée pour x>0 et y>02. Si tu as par exemple ln(x(x−3)), tu dois d'abord vérifier que x>0 et x−3>0, c'est-à-dire x>3, avant de séparer en deux logarithmes. Sans cette précaution, tu peux perdre ou ajouter des solutions.
Pourquoi $\ln(a+b)$ ne se simplifie-t-il pas ?
Parce que le logarithme a été construit pour transformer les produits en sommes 2, pas les sommes. Une somme dans un logarithme reste telle quelle : tu peux seulement factoriser ce qui est à l'intérieur si c'est possible, par exemple ln(2x+2)=ln(2(x+1))=ln2+ln(x+1) pour x>−1. Pour t'en convaincre, teste avec des valeurs simples comme a=b=1.
Que faire quand une équation contient plusieurs logarithmes ?
Suis toujours le même ordre : détermine d'abord le domaine où tous les logarithmes existent, regroupe-les avec les formules de produit, de quotient ou de puissance, puis utilise le fait que ln(A)=ln(B) équivaut à A=B pour deux nombres strictement positifs. Termine en gardant seulement les solutions qui appartiennent au domaine trouvé au départ. C'est ce dernier contrôle que les correcteurs de Bac attendent.