Logarithme népérien : exercices corrigés de Terminale

Le logarithme népérien est la primitive de $x\mapsto\frac1x$ qui s'annule en 1 ² : donc $\ln(1)=0$.

$\ln(e)$ est la puissance à laquelle il faut élever $e$ pour obtenir $e$ ² : c'est $1$, donc $\ln(e)=1$.

Pour $A$ : $\ln(e^3)=3\ln(e)=3$ et $\ln\!\left(\frac1e\right)=-\ln(e)=-1$. Donc $A=3-1=2$.

Pour $B$ : $2\ln(5)=\ln(25)$. Alors $B=\ln(25)+\ln(4)-\ln(100)=\ln(100)-\ln(100)$ car $25\times4=100$.

On obtient $B=0$.

On décompose $12=2^2\times3$.

Par la relation $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ ² : $\ln(12)=\ln(2^2)+\ln(3)=2\ln(2)+\ln(3)$.

Pour le quotient : $\ln\!\left(\frac38\right)=\ln(3)-\ln(8)=\ln(3)-3\ln(2)$.

Valeur approchée : $\ln(12)\approx 2\times0{,}69+1{,}10=2{,}48$.

Domaine. $\ln(x)$ exige $x>0$ et $\ln(x-2)$ exige $x>2$. L'équation se résout donc sur $]2\,;+\infty[$.

Sur ce domaine : $\ln(x)+\ln(x-2)=\ln\big(x(x-2)\big)$ d'après la relation sur le produit ².

L'équation devient $\ln\big(x(x-2)\big)=\ln(3)$. Le logarithme étant une bijection de $]0\,;+\infty[$ sur $\mathbb R$ ², cela équivaut à $x(x-2)=3$.

On développe : $x^2-2x-3=0$. Le discriminant vaut $4+12=16$, d'où $x=\frac{2-4}{2}=-1$ ou $x=\frac{2+4}{2}=3$.

Vérification. $-1$ n'appartient pas à $]2\,;+\infty[$ : on le rejette. $3$ y appartient.

Contrôle : $\ln(3)+\ln(1)=\ln(3)+0=\ln(3)$. L'ensemble des solutions est $\{3\}$.

Domaine. $\ln(2x-1)$ existe si $2x-1>0$, c'est-à-dire $x>\frac12$.

La dérivée $(\ln)'(x)=\frac1x$ est strictement positive sur $]0\,;+\infty[$ ² : le logarithme est strictement croissant, donc il conserve l'ordre.

Par conséquent, pour $2x-1>0$ : $\ln(2x-1)\leqslant\ln(5)\iff 2x-1\leqslant5$.

On résout : $2x\leqslant6$, donc $x\leqslant3$.

On intersecte avec le domaine : $x\in\left]\frac12\,;3\right]$.

Comme $(\ln)'(x)=\frac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ ², on obtient $f'(x)=3\times\frac1x+2x=\frac3x+2x$.

En $x=2$ : $f'(2)=\frac32+4=\frac{11}{2}=5{,}5$.

Pour $x>0$, $\frac3x>0$ et $2x>0$. Leur somme est strictement positive, donc $f'(x)>0$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Puisque $a=\sqrt a\times\sqrt a$, la relation $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ ² donne $\ln(a)=2\ln(\sqrt a)$, donc $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln(a)=0{,}2$.

Quotient : $\ln\!\left(\frac{a^3}{\sqrt a}\right)=\ln(a^3)-\ln(\sqrt a)$.

Puissance : $\ln(a^3)=3\ln(a)=1{,}2$.

Donc $\ln\!\left(\frac{a^3}{\sqrt a}\right)=1{,}2-0{,}2=1$.

On pose $X=\ln x$. L'équation devient $X^2-X-2=0$.

Le discriminant est $1+8=9$ : $X=\frac{1-3}{2}=-1$ ou $X=\frac{1+3}{2}=2$.

Le logarithme est la bijection réciproque de l'exponentielle ² : $\ln x=-1\iff x=e^{-1}$ et $\ln x=2\iff x=e^{2}$.

Les deux valeurs sont strictement positives, elles appartiennent au domaine.

Le produit des solutions est $e^{-1}\times e^{2}=e\approx2{,}718$.

Comme $\ln$ est strictement croissante (sa dérivée $\frac1x$ est positive sur $]0\,;+\infty[$ ²), $2^n>1000\iff \ln(2^n)>\ln(1000)$.

Par la formule de la puissance : $n\ln(2)>3\ln(10)$.

Comme $\ln(2)>0$ : $n>\dfrac{3\ln(10)}{\ln(2)}\approx\dfrac{3\times2{,}3026}{0{,}6931}\approx9{,}97$.

Le plus petit entier strictement supérieur à $9{,}97$ est $10$.

Contrôle direct : $2^{9}=512<1000$ et $2^{10}=1024>1000$.