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Logarithme décimal et applications : cours de Terminale

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le logarithme décimal se déduit du logarithme népérien : $\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ pour tout $x>0$ .
Il transforme les produits en sommes et les puissances de 10 en entiers : $\log(10^n)=n$ , $\log(ab)=\log a+\log b$ , $\log(a^n)=n\log a$ .
La fonction $\log$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , s'annule en 1 et vaut 1 en 10 ; $10^x=a$ équivaut à $x=\log a$ .
Un nombre $N\geq 1$ possède $\lfloor \log N\rfloor+1$ chiffres dans sa partie entière : le logarithme décimal donne l'ordre de grandeur.
Applications : échelle logarithmique, pH en chimie, décibels en acoustique, seuils de croissance ( $q^n>A$ ).

Pourquoi un logarithme en base 10 ?

Tu connais déjà la fonction logarithme népérien, notée $\ln$ . Elle est construite comme la réciproque de la fonction exponentielle ². Elle a une propriété remarquable : elle transforme les produits en sommes, ce qui facilite les calculs comportant beaucoup de multiplications ou de divisions ⁴.

Seulement, la base naturelle $e\approx 2{,}718$ n'est pas celle dans laquelle nous comptons. Nous écrivons les nombres en base dix : dix, cent, mille, un million… Pour décrire la taille d'un nombre, on veut savoir combien de fois on multiplie par 10. Le logarithme décimal répond exactement à cette question.

Le logarithme décimal, de base 10, renseigne directement sur l'ordre de grandeur d'un nombre ³. Le logarithme népérien, lui, simplifie certains calculs mais ne parle pas de façon intuitive de l'ordre de grandeur en écriture décimale ³.

Dans ce chapitre, tu vas :

définir le logarithme décimal à partir de $\ln$ ;
retrouver ses propriétés de calcul ;
étudier la fonction correspondante ;
résoudre des équations et des inéquations ;
l'utiliser dans des situations concrètes : nombre de chiffres, pH, décibels, échelles de mesure.

Définition du logarithme décimal

Pour tout réel $a>0$ , on peut former le logarithme de base $a$ à partir du logarithme népérien : il s'obtient en divisant $\ln(x)$ par $\ln(a)$ ⁴. Le cas $a=10$ donne le logarithme décimal.

Démonstration · Pourquoi $\log(10^n)=n$

On sait que $\ln(10^n)=n\ln(10)$ (propriété de $\ln$ pour une puissance). Donc

$\log(10^n)=\frac{\ln(10^n)}{\ln(10)}=\frac{n\ln(10)}{\ln(10)}=n.$

Le quotient est bien défini car $\ln(10)\neq 0$ .

Les propriétés algébriques

Le logarithme décimal est un quotient de $\ln$ par une constante. Il hérite donc de toutes les propriétés algébriques de $\ln$ . Le fait que le produit devienne une somme est la caractéristique de la famille des fonctions logarithmes ⁴.

Démonstration · Preuve de la première propriété

On part de la définition et de la propriété $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ :

$\log(ab)=\frac{\ln(ab)}{\ln 10}=\frac{\ln a+\ln b}{\ln 10}=\frac{\ln a}{\ln 10}+\frac{\ln b}{\ln 10}=\log a+\log b.$

Les autres se démontrent de la même manière : on écrit la définition, on applique la propriété de $\ln$ , puis on redivise par $\ln 10$ .

ExempleExemples rédigés

$\log(8)=\log(2^3)=3\log 2\approx 0{,}9030$ .
$\log(5)=\log\!\left(\dfrac{10}{2}\right)=\log 10-\log 2=1-\log 2\approx 0{,}6990$ .
$\log(12)=\log(2^2\times 3)=2\log 2+\log 3\approx 0{,}6020+0{,}4771=1{,}0791$ .
$\log(0{,}06)=\log\!\left(\dfrac{6}{100}\right)=\log 2+\log 3-2\approx -1{,}2219$ .

Tu remarques que $\log 5$ s'obtient sans calculatrice dès que tu connais $\log 2$ : l'astuce « $5=10/2$ » est à retenir.

Étude de la fonction logarithme décimal

On étudie maintenant la fonction $f:x\mapsto \log(x)$ sur son ensemble de définition $]0\,;+\infty[$ . Comme $\ln$ n'est définie que pour les réels strictement positifs, il en est de même pour $\log$ .

Courbe représentative de la fonction logarithme décimal · Chaque multiplication de x par 10 ajoute 1 à log(x).

Valeurs du logarithme décimal pour des puissances de 10
x	0,001	0,01	0,1	1	10	100	1000
log(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Valeurs du logarithme décimal pour des puissances de 10

Sur la courbe, on lit les trois valeurs clés : $\log(0{,}1)=-1$ , $\log(1)=0$ et $\log(10)=1$ . Le passage d'une puissance de 10 à la suivante fait monter la courbe d'exactement une unité. C'est cette régularité qui fait l'intérêt du logarithme décimal pour comparer des nombres de tailles très différentes.

Équations et inéquations avec $\log$

Le grand intérêt de la fonction $\log$ est de ramener un exposant à un facteur. Quand l'inconnue est dans un exposant, on prend le logarithme des deux membres. Comme la fonction est strictement croissante, cette opération conserve l'égalité et l'ordre.

Ordres de grandeur et nombre de chiffres

Le logarithme décimal d'un nombre mesure sa position entre deux puissances de 10. Il donne directement une idée de son ordre de grandeur, grâce à sa partie entière ³. Cette idée sert à compter les chiffres d'un très grand nombre.

Calculer log NUtilise log(a^n) = n log a si N est une puissance.
Prendre la partie entièreTronque, sans arrondir.
Ajouter 1p = partie entière + 1.
ConclureÉcris : N possède p chiffres.

Compter les chiffres d'un grand entier

Applications : échelles logarithmiques, pH et décibels

Beaucoup de grandeurs physiques varient sur un énorme intervalle. Pour les représenter, on les mesure sur une échelle logarithmique.

Cette échelle convient aux ordres de grandeur : elle fait tenir une très large gamme de valeurs dans un espace réduit, à condition que les valeurs soient non nulles et de même signe ³. C'est pour cela qu'on ne peut pas y placer le zéro ni mélanger des valeurs positives et négatives.

Méthode d'ensemble et pièges du bac

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer une expression avec des logarithmes décimaux

★☆☆Environ 8 min

Calcule la valeur exacte de

$A=\log(0{,}001)+2\log(50)-\log(25).$

Indice 1

Écris $0{,}001$ comme une puissance de 10 et regroupe $2\log 50$ en un seul logarithme.

Indice 2

Regroupe tout en un seul logarithme avant de simplifier.

Voir la correction pas à pas

On a $\log(0{,}001)=\log(10^{-3})=-3$ .
On écrit $2\log(50)=\log(50^2)=\log(2500)$ .
On regroupe : $\log(2500)-\log(25)=\log\!\left(\dfrac{2500}{25}\right)=\log(100)$ .
Comme $100=10^2$ , on obtient $\log(100)=2$ .
Finalement $A=-3+2=-1$ .

On trouve $A=-1$ . Le réflexe à garder : ramener tout à des puissances de 10 dès que possible.

Exercice 2 Doubler un capital

★★☆Environ 10 min

Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Chaque année, il est multiplié par $1{,}05$ . On donne $\log 2\approx0{,}30103$ et $\log(1{,}05)\approx0{,}02119$ .

Détermine le plus petit nombre entier d'années $n$ pour que le capital soit au moins doublé.

Indice 1

Traduis la situation par l'inéquation $1{,}05^n\geq2$ .

Indice 2

Prends le logarithme des deux membres et regarde le signe de $\log(1{,}05)$ .

Voir la correction pas à pas

On doit résoudre $1{,}05^n\geq 2$ .
La fonction $\log$ est strictement croissante : $\log(1{,}05^n)\geq\log 2$ .
On utilise la propriété de la puissance : $n\log(1{,}05)\geq\log 2$ .
Comme $1{,}05>1$ , on a $\log(1{,}05)>0$ : on conserve le sens de l'inégalité et $n\geq\dfrac{\log2}{\log1{,}05}$ .
Numériquement, $\dfrac{0{,}30103}{0{,}02119}\approx14{,}2$ .
Le plus petit entier supérieur ou égal à $14{,}2$ est $15$ .

Il faut au moins $15$ ans pour que le capital soit doublé. Au bout de $14$ ans, il n'est pas encore doublé, ce qui se vérifie à la calculatrice.

Exercice 3 Nombre de chiffres de $2^{100}$

★★☆Environ 8 min

On donne $\log 2\approx0{,}30103$ . Combien de chiffres comporte l'écriture décimale de $2^{100}$ ?

Indice 1

Utilise la formule $p=\lfloor\log N\rfloor+1$ .

Indice 2

Calcule $\log(2^{100})$ avec la propriété de la puissance.

Voir la correction pas à pas

On calcule $\log(2^{100})=100\log 2$ .
Avec la valeur donnée : $100\times0{,}30103=30{,}103$ .
La partie entière de $30{,}103$ est $30$ .
Le nombre de chiffres est $30+1=31$ .

Le nombre $2^{100}$ s'écrit avec $31$ chiffres. On est certain du résultat car $30{,}103$ n'est pas proche d'un entier : l'incertitude liée à l'approximation de $\log 2$ ne change pas la partie entière.

Exercice 4 Calculer un pH

★★★Environ 12 min

Le pH d'une solution se calcule avec $\text{pH}=-\log\big([\text{H}_3\text{O}^+]\big)$ , la concentration étant en mol·L $^{-1}$ . Une solution a une concentration $[\text{H}_3\text{O}^+]=3{,}2\times10^{-4}$ mol·L $^{-1}$ . On donne $\log 3{,}2\approx0{,}50515$ .

Calcule le pH de la solution, arrondi au millième.
On dilue la solution pour diviser sa concentration par 10. De combien le pH varie-t-il ?

Indice 1

Décompose $3{,}2\times10^{-4}$ avec la propriété du produit.

Indice 2

Pour la dilution, utilise $\log\!\left(\dfrac{a}{10}\right)=\log a-1$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $\log(3{,}2\times10^{-4})=\log(3{,}2)+\log(10^{-4})$ .
On remplace : $\log(3{,}2)+(-4)\approx0{,}50515-4=-3{,}49485$ .
Donc $\text{pH}=-(-3{,}49485)=3{,}49485$ , soit environ $3{,}495$ au millième.
Après dilution, la concentration est $c'=\dfrac{c}{10}$ . Alors $\log c'=\log c-1$ .
Le nouveau pH vaut $-\log c'=-\log c+1=\text{pH}+1$ .

Le pH initial vaut environ $3{,}495$ . Diviser la concentration par 10 fait augmenter le pH d'exactement une unité : le logarithme transforme une division en soustraction.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence y a-t-il entre log et ln ?

Le logarithme népérien $\ln$ a pour base $e$ , le logarithme décimal $\log$ a pour base 10. Ils sont reliés par $\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$ ⁴. Les propriétés de calcul sont identiques ; seuls changent les valeurs remarquables : $\ln e=1$ et $\log10=1$ .

À quoi sert le logarithme décimal concrètement ?

Il sert à manipuler des grandeurs qui varient sur de très grands intervalles. Il donne l'ordre de grandeur d'un nombre ³, définit le pH en chimie ³ et intervient dans le décibel en acoustique et en électronique ³. Il permet aussi de résoudre les équations où l'inconnue est un exposant.

Comment savoir si je dois inverser le sens d'une inégalité ?

Inverse-le seulement quand tu divises ou multiplies par un nombre négatif. Dans une inéquation $q^n\geq A$ , regarde le signe de $\log q$ : positif si $q>1$ (on conserve le sens), négatif si $0<q<1$ (on l'inverse). Écrire ce signe sur ta copie évite l'erreur.

Peut-on utiliser ln à la place de log pour résoudre une équation ?

Oui, pour résoudre $a^x=b$ avec $a,b>0$ , le résultat est le même : $x=\dfrac{\ln b}{\ln a}=\dfrac{\log b}{\log a}$ . Le quotient ne dépend pas de la base choisie, tant que tu utilises la même pour le numérateur et le dénominateur.

Pourquoi le zéro n'existe-t-il pas sur une échelle logarithmique ?

Parce que la position d'un point est proportionnelle au logarithme de sa valeur ³, et que $\log$ n'est défini que pour des valeurs strictement positives. Une échelle de ce type ne convient donc qu'à des valeurs non nulles et de même signe ³.

Sources

Programme visé : Fonction logarithme népérien — Logarithme décimal et applications · Bulletin officiel (Ministère de l'Éducation nationale)

Fonction logarithme népérien — Logarithme décimal et applications, Bulletin officiel (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 7 novembre 2026.
Annexe 1 — Programme spécialité mathématiques Terminale générale, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Échelle logarithmique, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.
Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi un logarithme en base 10 ?

Définition du logarithme décimal

Les propriétés algébriques

Étude de la fonction logarithme décimal

Équations et inéquations avec $\log$

Ordres de grandeur et nombre de chiffres

Applications : échelles logarithmiques, pH et décibels

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Exercice 1 Calculer une expression avec des logarithmes décimaux

Exercice 2 Doubler un capital

Exercice 3 Nombre de chiffres de $2^{100}$

Exercice 4 Calculer un pH

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