Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Logarithme décimal et applications : exercices corrigés de Terminale

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le logarithme décimal se ramène au logarithme népérien : $\log_{10}(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ ⁴.
Il donne directement l'ordre de grandeur d'un nombre, car $\log_{10}(10^n)=n$ ³.
Il transforme les produits en sommes : $\log(ab)=\log a+\log b$ ⁴.
Il sert à définir le décibel et le pH, et à lire des échelles logarithmiques ³.
Pour un seuil du type $a^n \ge k$ , on prend le logarithme des deux côtés, en vérifiant le signe de $\log a$ .

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font manipuler le logarithme décimal, noté $\log$ ou $\log_{10}$ , dans des calculs puis dans des situations concrètes. Les premiers sont directs, les derniers demandent de choisir toi-même la bonne méthode. Cherche d'abord seul : relis l'énoncé, essaie, puis ouvre un indice si tu bloques. Ne regarde la correction qu'après avoir écrit une réponse, même fausse : c'est en comparant que tu repères tes erreurs.

Où le logarithme décimal intervient

Le logarithme décimal est pratique parce que la base 10 correspond à notre écriture des nombres. Il sert en statistiques et, en chimie, il intervient dans la définition du pH ³. Il apparaît aussi dans le décibel, utilisé en télécommunications, en électronique et en acoustique ³.

Savoir lire un résultat et éviter les pièges

Un résultat de logarithme décimal se lit en deux temps. La partie avant la virgule renseigne sur l'ordre de grandeur du nombre de départ, c'est-à-dire sur la puissance de 10 qui l'encadre ³. La partie décimale, elle, précise la position du nombre à l'intérieur de cet encadrement. Ainsi, $\log_{10}(x)\approx 4{,}7$ signifie que $x$ se situe entre $10^4$ et $10^5$ ; plus précisément, $x=10^4\times 10^{0{,}7}\approx 5\times 10^4$ , car $\log_{10}(5)\approx 0{,}70$ .

Les exercices

Exercice 1 Des puissances de 10 qui se simplifient

★☆☆Environ 5 min

Calcule la valeur exacte de $A=\log_{10}(1000)+\log_{10}(0{,}01)$ .

Indice 1

Écris 1000 et 0,01 comme des puissances de 10.

Indice 2

Rappelle-toi que $\log_{10}(10^n)=n$ , y compris pour $n$ négatif.

Voir la correction pas à pas

On écrit $1000=10^3$ , donc $\log_{10}(1000)=3$ .
On écrit $0{,}01=10^{-2}$ , donc $\log_{10}(0{,}01)=-2$ .
On additionne : $A=3+(-2)=1$ .

$A=1$ . Un nombre inférieur à 1 a un logarithme décimal négatif : ici $0{,}01$ donne $-2$ .

Exercice 2 Regrouper deux logarithmes

★☆☆Environ 5 min

Calcule $B=\log_{10}(5)+\log_{10}(20)$ sans calculatrice.

Indice 1

Aucune valeur approchée n'est nécessaire : cherche à regrouper.

Indice 2

Utilise $\log a+\log b=\log(ab)$ .

Voir la correction pas à pas

Les deux nombres sont strictement positifs, on peut regrouper : $B=\log_{10}(5\times 20)$ .
On calcule le produit : $5\times 20=100$ .
Comme $100=10^2$ , on obtient $B=\log_{10}(10^2)=2$ .

$B=2$ . Regrouper en un produit qui est une puissance de 10 est le réflexe à avoir.

Exercice 3 Calculer un logarithme décimal avec ln

★★☆Environ 8 min

On donne $\ln(2)\approx 0{,}6931$ et $\ln(10)\approx 2{,}3026$ . Calcule $\log_{10}(2000)$ , arrondi au millième.

Indice 1

Décompose $2000=2\times 10^3$ .

Indice 2

Pour $\log_{10}(2)$ , utilise $\log_{10}(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ .

Voir la correction pas à pas

On décompose : $\log_{10}(2000)=\log_{10}(2)+\log_{10}(10^3)=\log_{10}(2)+3$ .
On convertit : $\log_{10}(2)=\dfrac{\ln 2}{\ln 10}\approx\dfrac{0{,}6931}{2{,}3026}\approx 0{,}3010$ .
On additionne : $\log_{10}(2000)\approx 0{,}3010+3=3{,}3010$ , soit $3{,}301$ au millième.

$\log_{10}(2000)\approx 3{,}301$ . La partie entière, 3, donne l'ordre de grandeur : $2000$ est entre $10^3$ et $10^4$ .

Exercice 4 Niveau sonore en décibels

★★☆Environ 8 min

Un niveau sonore se calcule par $L=10\log_{10}\left(\dfrac{P}{P_0}\right)$ en décibels (dB), où $P_0$ est une puissance de référence. Une source a une puissance $P=2000\,P_0$ .

Calcule $L$ , arrondi au centième.
De combien de décibels augmente le niveau quand on double la puissance ?

Indice 1

Remplace $\dfrac{P}{P_0}$ par 2000 et utilise le résultat de l'exercice précédent.

Indice 2

Pour le doublement, compare $L$ avant et après avec la règle du produit.

Voir la correction pas à pas

Ici $\dfrac{P}{P_0}=2000$ , donc $L=10\log_{10}(2000)$ .
On utilise $\log_{10}(2000)=\log_{10}(2)+3\approx 3{,}30103$ .
On multiplie : $L\approx 10\times 3{,}30103=33{,}0103$ , soit $33{,}01$ dB.
Si la puissance est multipliée par 2, le niveau devient $10\log_{10}(2\times r)=10\log_{10}(2)+10\log_{10}(r)$ où $r=\dfrac{P}{P_0}$ .
Le gain est donc $10\log_{10}(2)\approx 3{,}01$ dB, quel que soit le niveau de départ.

$L\approx 33{,}01$ dB. Doubler la puissance ajoute environ $3{,}01$ dB : une multiplication de la puissance devient une addition de décibels.

Exercice 5 Calculer un pH

★★☆Environ 8 min

Dans cet exercice, on définit le pH d'une solution par $\text{pH}=-\log_{10}\left([\text{H}_3\text{O}^+]\right)$ , la concentration $[\text{H}_3\text{O}^+]$ étant exprimée en mol/L. Une solution a une concentration de $3{,}2\times 10^{-4}$ mol/L. Calcule son pH, arrondi au centième. On donne $\log_{10}(3{,}2)\approx 0{,}50515$ .

Indice 1

Sépare $3{,}2\times 10^{-4}$ en deux facteurs avec la règle du produit.

Indice 2

N'oublie pas le signe moins devant le logarithme dans la définition.

Voir la correction pas à pas

On écrit $\text{pH}=-\log_{10}(3{,}2\times 10^{-4})$ .
On sépare : $\log_{10}(3{,}2\times 10^{-4})=\log_{10}(3{,}2)+\log_{10}(10^{-4})\approx 0{,}50515-4$ .
On obtient $\log_{10}(3{,}2\times 10^{-4})\approx -3{,}49485$ .
On applique le signe moins : $\text{pH}\approx 3{,}49485$ , soit $3{,}49$ au centième.

Le pH vaut environ $3{,}49$ . Plus la concentration est faible, plus le logarithme est négatif et plus le pH est grand.

Exercice 6 Un seuil avec une suite géométrique

★★★Environ 12 min

Un capital placé augmente de 5 % par an, donc il est multiplié par $1{,}05$ chaque année. Au bout de $n$ années, il est multiplié par $1{,}05^n$ . Quel est le plus petit nombre entier d'années $n$ pour que le capital ait au moins doublé ? On donne $\log_{10}(2)\approx 0{,}30103$ et $\log_{10}(1{,}05)\approx 0{,}02119$ .

Indice 1

Traduis la condition par une inégalité : $1{,}05^n\ge 2$ .

Indice 2

Passe au logarithme décimal ; le logarithme de $1{,}05$ est strictement positif, le sens de l'inégalité ne change donc pas.

Voir la correction pas à pas

La condition est $1{,}05^n\ge 2$ .
Les deux membres sont strictement positifs : on applique $\log_{10}$ , ce qui donne $n\log_{10}(1{,}05)\ge\log_{10}(2)$ .
Comme $1{,}05>1$ , on a $\log_{10}(1{,}05)>0$ : on peut diviser sans changer le sens, d'où $n\ge\dfrac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}05)}$ .
On calcule : $\dfrac{0{,}30103}{0{,}02119}\approx 14{,}2$ .
Le plus petit entier supérieur ou égal à $14{,}2$ est $15$ .
Vérification : $1{,}05^{14}\approx 1{,}98<2$ et $1{,}05^{15}\approx 2{,}08\ge 2$ .

Il faut 15 ans. On a pris le plus petit entier au-dessus de $14{,}2$ , pas l'arrondi : 14 ans ne suffisent pas.

Exercice 7 Combien de chiffres a un très grand nombre ?

★★★Environ 12 min

Soit $N=7^{100}$ . Un entier $N$ a $k$ chiffres exactement lorsque $10^{k-1}\le N<10^k$ . Déterminer le nombre de chiffres de $N$ . On utilise la calculatrice pour $\log_{10}(7)\approx 0{,}845098$ .

Indice 1

Calcule $\log_{10}(N)$ avec la règle de la puissance.

Indice 2

Encadre $\log_{10}(N)$ entre deux entiers consécutifs : l'entier du bas vaut $k-1$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $\log_{10}(N)=100\times\log_{10}(7)\approx 100\times 0{,}845098=84{,}5098$ .
Donc $84\le\log_{10}(N)<85$ .
La fonction $x\mapsto 10^x$ est croissante : on obtient $10^{84}\le N<10^{85}$ .
Avec $k-1=84$ , on trouve $k=85$ .

$7^{100}$ s'écrit avec 85 chiffres. Règle utile : le nombre de chiffres d'un entier $N$ est la partie entière de $\log_{10}(N)$ , plus 1.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre ln et log ?

Le logarithme népérien $\ln$ a pour base $e$ , tandis que le logarithme décimal $\log$ (ou $\log_{10}$ ) a pour base 10. On passe de l'un à l'autre avec $\log_{a}(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$ ⁴. Le logarithme décimal donne facilement l'ordre de grandeur d'un nombre, alors que le népérien est plus commode pour d'autres calculs, notamment en analyse ³. Attention : dans certains domaines des mathématiques, la notation $\log$ désigne le logarithme népérien ⁴. Lis donc toujours la convention de l'énoncé.

Quand faut-il changer le sens d'une inégalité avec un logarithme ?

Appliquer un logarithme de base $10$ à deux nombres strictement positifs conserve l'ordre, car la fonction est croissante. Le piège vient de la division : si tu divises par un logarithme négatif, le sens s'inverse. C'est le cas pour $\log_{10}(0{,}5)<0$ , par exemple. Dans un exercice de seuil avec $a^n\ge k$ , regarde donc si $a>1$ (logarithme positif, sens conservé) ou si $0<a<1$ (logarithme négatif, sens inversé).

Sources

Programme visé : Fonction logarithme népérien — Logarithme décimal et applications · Bulletin officiel (Ministère de l'Éducation nationale)

Fonction logarithme népérien — Logarithme décimal et applications, Bulletin officiel (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 7 novembre 2026.
Annexe 1 — Programme spécialité mathématiques Terminale générale, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Échelle logarithmique, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.
Logarithme népérien, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Logarithme décimal et applications : exercices corrigés de Terminale

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Où le logarithme décimal intervient

Savoir lire un résultat et éviter les pièges

Les exercices

Exercice 1 Des puissances de 10 qui se simplifient

Exercice 2 Regrouper deux logarithmes

Exercice 3 Calculer un logarithme décimal avec ln

Exercice 4 Niveau sonore en décibels

Exercice 5 Calculer un pH

Exercice 6 Un seuil avec une suite géométrique

Exercice 7 Combien de chiffres a un très grand nombre ?

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur