Limites de fonctions : cours de Terminale spécialité maths

Quand tu étudies une fonction, tu veux savoir ce qui se passe aux bords : que devient $f(x)$ lorsque $x$ devient énorme, très négatif, ou très proche d'une valeur interdite ? C'est exactement le rôle des limites. Elles sont au programme de la spécialité mathématiques en Terminale, avec la continuité qui en découle ². Elles te servent ensuite à trouver les asymptotes, à dresser un tableau de variations complet, et à utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Une limite exprime vers quelle valeur se dirigent les résultats d'une suite lorsque son rang devient immense, ou ceux d'une fonction lorsque la variable s'approche d'un point, qui peut d'ailleurs être l'infini ³. Dans ce cours, on s'occupe des fonctions. Tu as déjà rencontré la limite d'une suite : l'idée est la même, sauf que la variable $x$ est réelle et peut aussi se rapprocher d'un réel $a$.

Le programme prévoit l'étude des limites finies ou infinies d'une fonction en $+\infty$, en $-\infty$ et en un point ². Commençons par l'infini.

Le programme cite aussi la limite de la fonction exponentielle en $+\infty$ et en $-\infty$ ². Tu sais que $\mathrm{e}^x$ devient immense quand $x$ augmente, et se rapproche de $0$ quand $x$ devient très négatif. On retient donc $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$.

Pour la limite en un réel $a$, la variable $x$ se rapproche de $a$. Une fonction définie sur un intervalle $]a\,;b[$ peut être étudiée en tout réel de l'intervalle, mais aussi aux bornes $a$ et $b$, qu'elles soient finies ou infinies ³. C'est aux bornes que les limites sont le plus utiles : ce sont des valeurs où la fonction n'est pas définie.

La figure montre les deux comportements à la fois : la courbe colle à l'axe des abscisses à l'infini (asymptote horizontale $y=0$) et à l'axe des ordonnées près de $0$ (asymptote verticale $x=0$).

Le programme demande de calculer des limites qui font intervenir les fonctions de référence étudiées en classe de première ². Ces limites sont ta boîte à outils : tu les connais par cœur, puis tu les combines.

Pour la limite d'une fonction de référence en un point où elle est définie et continue, le calcul est direct : la limite de $x\mapsto x^2$ en $3$ vaut $9$, qui est la valeur de la fonction ³.

Certaines combinaisons ne permettent pas de conclure directement. On les appelle des formes indéterminées. Il faut connaître : « $+\infty-\infty$ », « $0\times\infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac00$ ». Le mot « indéterminée » signifie que la limite peut valoir n'importe quoi selon la fonction : il faut transformer l'expression pour trancher. Dans l'enseignement supérieur, on lève aussi ces formes en approchant la fonction par un polynôme ⁴, mais ce n'est pas au programme de Terminale ; ici on utilise des transformations d'écriture.

Le programme définit la continuité en un point par les limites, puis la continuité sur un intervalle ². Ce lien est une des idées centrales du chapitre.

Cette notion ouvre la suite du chapitre : le théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit l'existence de solutions à une équation $f(x)=k$. Sans maîtriser les limites aux bornes d'un intervalle, tu ne peux pas appliquer ce théorème sur $\mathbb{R}$ ou sur un intervalle non borné.