Limites de fonctions : exercices corrigés de Terminale

$f$ est une fonction polynôme : elle est définie en 2 et continue sur $\mathbb{R}$. Sa limite en 2 est donc $f(2)$ ³.

On remplace $x$ par 2 : $f(2)=2\times 2^2-3\times 2+1$.

On calcule : $2\times 4-6+1=8-6+1=3$.

Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$, on ne peut pas conclure directement.

Pour $x>0$, on sépare : $\dfrac{3x+1}{x}=3+\dfrac{1}{x}$.

Quand $x$ tend vers $+\infty$, le terme $\frac{1}{x}$ se rapproche de 0.

La somme se rapproche donc de $3+0=3$.

En $x=2$, le numérateur vaut $4-4=0$ et le dénominateur vaut $0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

On factorise le numérateur avec l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

Pour $x\neq 2$, on simplifie : $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$.

L'expression $x+2$ est définie et continue en 2, donc sa limite en 2 est $2+2=4$.

Les deux termes tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

On factorise par le terme de plus haut degré, $x^2$, pour $x\neq 0$ : $\dfrac{x^2\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{5}{x^2}\right)}$.

On simplifie par $x^2$ : $\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x^2}}$.

Quand $x\to+\infty$, $\frac{1}{x}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendent vers 0, donc le quotient tend vers $\frac{2}{1}=2$.

Quand $x\to 2$, le numérateur $x+1$ tend vers 3, un nombre strictement positif.

Pour $x>2$, $x-2$ est positif et tend vers 0 : le quotient d'un nombre proche de 3 par un très petit positif est très grand et positif, comme pour $\frac{1}{x}$ en $0^+$ ³. Donc $\lim_{x\to 2^+} g(x)=+\infty$.

Pour $x<2$, $x-2$ est négatif et tend vers 0 : le quotient est très grand en valeur absolue et négatif, comme pour $\frac{1}{x}$ en $0^-$ ³. Donc $\lim_{x\to 2^-} g(x)=-\infty$.

Les limites sont infinies en 2 : la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à la courbe.

Quand $x\to+\infty$, $\sqrt{x^2+4x}$ et $x$ tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée $\infty-\infty$.

On multiplie et on divise par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+4x}-x=\dfrac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$.

Pour $x>0$, on factorise le dénominateur : $\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$. Le dénominateur vaut donc $x\left(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1\right)$.

On simplifie par $x$ : l'expression vaut $\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$.

Quand $x\to+\infty$, $\frac{4}{x}\to 0$, donc le dénominateur tend vers $\sqrt{1}+1=2$ et le quotient vers $\frac{4}{2}=2$.

En $x=1$, le numérateur vaut 0 et $\sqrt{4}-2=0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x+3}+2$ : le dénominateur devient $(\sqrt{x+3})^2-2^2=x+3-4=x-1$.

L'expression devient $\dfrac{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}{x-1}$, qui vaut $\sqrt{x+3}+2$ pour $x\neq 1$.

La fonction $x\mapsto\sqrt{x+3}+2$ est définie et continue en 1 : sa limite est $\sqrt{4}+2=4$ ³.

Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

Pour $x>0$, on factorise par $x$ : $h(x)=\dfrac{x\left(5-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}=\dfrac{5-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$.

Quand $x\to+\infty$, $\frac{1}{x}$ et $\frac{2}{x}$ tendent vers 0 : la limite est $\frac{5}{1}=5$.

La limite est finie et vaut 5 en $+\infty$ : la courbe admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses, d'équation $y=5$ ².

Quand $x\to+\infty$, $e^x$ tend vers $+\infty$, donc le quotient est une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

On met $e^x$ en facteur au numérateur et au dénominateur : $\dfrac{e^x\left(3+\frac{1}{e^x}\right)}{e^x\left(1+\frac{2}{e^x}\right)}=\dfrac{3+e^{-x}}{1+2e^{-x}}$.

Quand $x\to+\infty$, $e^{-x}$ tend vers 0 (limite de référence de l'exponentielle au programme ²).

Le quotient tend donc vers $\frac{3+0}{1+0}=3$.