Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Théorème des valeurs intermédiaires : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

TVI : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c\in[a\,;\,b]$ tel que $f(c)=k$ .
Cas le plus utilisé : $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires, donc l'équation $f(x)=0$ a au moins une solution dans $[a\,;\,b]$ .
Pour l'unicité, il faut ajouter que $f$ est strictement monotone sur l'intervalle (corollaire du TVI).
Sur un intervalle non borné ou ouvert, on remplace $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes.
Le TVI est admis en Terminale. On peut le démontrer par dichotomie (approfondissement), une méthode qui donne aussi un algorithme d'encadrement de la solution.
Le TVI dit qu'une solution existe, jamais où elle est ni combien il y en a sans monotonie.

L'idée : une courbe continue ne saute pas

Imagine que tu traces la courbe d'une fonction sans jamais lever le crayon. Si tu pars d'un point situé sous l'axe des abscisses et que tu arrives à un point situé au-dessus, tu es obligé de croiser cet axe quelque part. Tu ne peux pas « sauter » par-dessus. Le théorème des valeurs intermédiaires, abrégé en TVI, donne une version précise et rigoureuse de cette intuition.

Ce théorème est l'un des outils les plus utilisés en analyse au lycée. Il sert à répondre à une question très concrète : une équation du type $f(x)=k$ possède-t-elle une solution ? Quand on ne sait pas résoudre l'équation par le calcul (parce que $f$ est un polynôme de degré 3, ou mélange exponentielle et puissance), le TVI permet quand même d'affirmer qu'une solution existe et de l'encadrer.

Dans ce cours, tu vas voir l'énoncé exact, le rôle de chaque hypothèse, la démonstration par dichotomie, le corollaire sur les fonctions strictement monotones, puis la méthode de rédaction attendue au bac. Tu t'appuies sur ce que tu as déjà vu : les limites de fonctions, les asymptotes et la continuité.

L'énoncé du théorème

Quelques précisions de lecture, parce que chaque mot compte.

« Au moins un » : le théorème garantit l'existence d'une solution, pas son unicité. Il peut y en avoir une, deux, dix.
« Compris entre $f(a)$ et $f(b)$ » : on ne suppose pas que $f(a)<f(b)$ . Si $f(a)>f(b)$ , les valeurs intermédiaires sont celles de l'intervalle $[f(b)\,;\,f(a)]$ .
« Il existe $c$ » : le théorème ne dit pas comment trouver $c$ . Il appartient à la famille des théorèmes dits d'existence, et il n'existe pas de démonstration générale qui construirait directement ce $c$ . ³

Pourquoi chaque hypothèse est nécessaire

Un théorème n'est vrai que sous ses hypothèses. Les hypothèses du TVI sont la continuité de $f$ et le fait que le domaine soit un intervalle. Le théorème repose précisément sur ces deux notions : la continuité et ce qu'on appelle la connexité de l'intervalle, c'est-à-dire le fait qu'il soit « d'un seul morceau ». ³ Voyons ce qui se passe quand l'une des deux manque.

Démonstration par dichotomie

Au lycée, le TVI est admis. Sa démonstration par dichotomie fait partie des approfondissements possibles du programme, et la méthode de dichotomie y figure comme algorithme à connaître. ¹ On coupe l'intervalle en deux à répétition, en gardant à chaque fois la moitié qui contient la solution. On traite le cas $k=0$ , avec $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ , $f(a)<0$ et $f(b)>0$ (le cas inverse est symétrique, et le cas général de $k$ se ramène à $k=0$ en considérant $f-k$ ).

Démonstration · Principe de la dichotomie

On construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ en posant $a_0=a$ et $b_0=b$ . Pour passer de l'étape $n$ à l'étape $n+1$ , on calcule le milieu $m=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ :

si $f(m)\le 0$ , on pose $a_{n+1}=m$ et $b_{n+1}=b_n$ ;
si $f(m)>0$ , on pose $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=m$ .

Dans les deux cas, on a toujours $f(a_n)\le 0$ et $f(b_n)>0$ à chaque étape, et l'intervalle $[a_{n+1}\,;\,b_{n+1}]$ est la moitié de $[a_n\,;\,b_n]$ .

Les suites sont adjacentes. La suite $(a_n)$ est croissante, la suite $(b_n)$ est décroissante, et $b_n-a_n=\dfrac{b-a}{2^n}$ tend vers $0$ . Deux suites adjacentes convergent vers une même limite $c$ , et $c\in[a\,;\,b]$ .

On passe à la limite. La fonction $f$ est continue en $c$ , donc l'image d'une suite convergente vers $c$ converge vers $f(c)$ . ¹ On a donc $f(a_n)\to f(c)$ et $f(b_n)\to f(c)$ . Comme $f(a_n)\le 0$ pour tout $n$ , on obtient $f(c)\le 0$ . Comme $f(b_n)>0$ pour tout $n$ , on obtient $f(c)\ge 0$ . Les deux inégalités donnent $f(c)=0$ .

Cette démonstration a un double intérêt. Elle te montre où la continuité intervient : uniquement au moment de passer à la limite, pour affirmer que $f(a_n)$ et $f(b_n)$ tendent vers $f(c)$ . Et elle fournit un algorithme pour approcher la solution, que tu peux programmer en Python.

MéthodeL'algorithme de dichotomie en Python

Pour encadrer une solution de $f(x)=0$ avec une précision e, quand $f$ est continue et change de signe sur $[a\,;\,b]$ :

def dichotomie(f, a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

À chaque tour de boucle, la largeur de l'intervalle est divisée par $2$ . Après $n$ tours, elle vaut $\dfrac{b-a}{2^n}$ , donc la boucle s'arrête toujours.

Unicité de la solution : le cas strictement monotone

Le TVI garantit l'existence d'une solution, mais une équation peut en avoir plusieurs. Par exemple, $f(x)=x^3-3x$ s'annule en $-\sqrt3$ , en $0$ et en $\sqrt3$ . Pour obtenir une solution unique, il faut une hypothèse supplémentaire : la fonction doit être strictement monotone. Le programme traite spécifiquement le cas des fonctions continues strictement monotones. ¹

Démonstration · Pourquoi la solution est unique

L'existence vient du TVI. Pour l'unicité, supposons par exemple $f$ strictement croissante, et supposons qu'il existe deux solutions $c_1<c_2$ de $f(x)=k$ . Alors la stricte croissance donne $f(c_1)<f(c_2)$ , c'est-à-dire $k<k$ , ce qui est absurde. Donc il n'y a qu'une solution. Le raisonnement est identique pour une fonction strictement décroissante.

Ce corollaire est le cœur de la plupart des questions de bac sur le sujet. Il débouche sur le théorème de la bijection, que le TVI permet de démontrer. ³ En pratique, on prouve la stricte monotonie en étudiant le signe de la dérivée : si $f'>0$ sur l'intervalle (sauf éventuellement en des points isolés), $f$ est strictement croissante.

Courbe de f(x) = x³ + 3x − 5 sur [0 ; 2] · f(1) = −1 < 0 et f(2) = 9 > 0 : la courbe coupe l'axe des abscisses entre 1 et 2.

ExempleUn cas avec la fonction cosinus

Montrons que l'équation $\cos x=x$ a une unique solution dans $[0\,;\,1]$ (angles en radians). Posons $g(x)=\cos x-x$ .

$g$ est continue et dérivable sur $[0\,;\,1]$ .
$g'(x)=-\sin x-1$ . Sur $[0\,;\,1]$ , $\sin x\ge 0$ , donc $g'(x)\le -1<0$ et $g$ est strictement décroissante.
$g(0)=1>0$ et $g(1)=\cos 1-1<0$ car $\cos 1<1$ .

Le nombre $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$ . Le corollaire donne une unique solution dans $[0\,;\,1]$ . Remarque que cette équation ne se résout pas par un calcul algébrique : c'est exactement le genre de situation où le TVI est précieux.

Intervalles ouverts, non bornés et limites

Souvent, l'énoncé du bac ne te donne pas un segment $[a\,;\,b]$ mais un intervalle comme $]0\,;\,+\infty[$ ou $\mathbb R$ . Tu ne peux pas calculer $f(+\infty)$ , mais tu peux utiliser la limite de $f$ en $+\infty$ à la place. C'est là que tes connaissances sur les limites et les asymptotes reviennent.

Méthode de rédaction pour le bac

Une question de type « montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique sur $I$ » suit presque toujours le même plan. Sur une copie, les correcteurs attendent que chaque hypothèse du théorème soit nommée et justifiée.

ContinuitéJustifier que f est continue sur l'intervalle.
Valeurs aux bornesCalculer f(a) et f(b) et situer k entre les deux.
ThéorèmeCiter le TVI : il existe c tel que f(c) = k.
UnicitéAjouter la stricte monotonie pour une solution unique.

Rédiger une application du TVI

Erreurs fréquentes et théorèmes voisins

Le TVI a des cousins que tu croiseras peut-être dans le supérieur. Le théorème des valeurs extrêmes (ou théorème de Weierstrass) concerne les fonctions continues définies sur un segment : elles restent comprises entre deux valeurs fixes et prennent réellement leur plus petite et leur plus grande valeur, c'est-à-dire qu'elles ont un minimum et un maximum. ⁴ Avec le TVI, ce résultat est fondamental pour comprendre les fonctions réelles. Sa preuve est trop délicate pour les cours élémentaires, parce qu'elle s'appuie sur la topologie des nombres réels. ⁴

On peut combiner les deux : l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. ³ Enfin, le théorème de Darboux étend l'idée du TVI aux fonctions dérivées : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors l'ensemble des valeurs de $f'$ est lui aussi un intervalle. ³ Ces deux derniers résultats sont hors du programme de Terminale.

Exercices corrigés

Exercice 1 Montrer qu'une équation a une solution

★☆☆Environ 8 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3-4x+1$ . Montre que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0\,;\,1]$ .

Indice 1

Vérifie d'abord que $f$ est continue, puis calcule $f(0)$ et $f(1)$ .

Indice 2

Regarde le signe des deux valeurs obtenues.

Voir la correction pas à pas

$f$ est un polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb R$ , en particulier sur $[0\,;\,1]$ .
On calcule $f(0)=0-0+1=1$ et $f(1)=1-4+1=-2$ .
Les nombres $f(0)=1$ et $f(1)=-2$ sont de signes contraires, donc $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(0)$ .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c\in[0\,;\,1]$ tel que $f(c)=0$ .

L'équation $f(x)=0$ a au moins une solution dans $[0\,;\,1]$ . On n'a pas démontré l'unicité : il faudrait pour cela montrer que $f$ est strictement monotone sur $[0\,;\,1]$ .

Exercice 2 Trois tours de dichotomie

★★☆Environ 12 min

Soit $f(x)=x^3+3x-5$ sur $[1\,;\,2]$ . On sait que $f$ est continue, strictement croissante, avec $f(1)=-1$ et $f(2)=9$ . On applique la dichotomie à l'équation $f(x)=0$ sur $[1\,;\,2]$ en effectuant trois tours. Quelle est la borne inférieure de l'intervalle obtenu à l'issue du troisième tour ?

Indice 1

À chaque tour, calcule la valeur de $f$ au milieu de l'intervalle courant et regarde son signe.

Indice 2

Si $f(m)>0$ , la solution est à gauche de $m$ ; si $f(m)<0$ , elle est à droite.

Voir la correction pas à pas

Tour 1 : le milieu de $[1\,;\,2]$ est $1{,}5$ . On a $f(1{,}5)=3{,}375+4{,}5-5=2{,}875>0$ , donc la solution est dans $[1\,;\,1{,}5]$ .
Tour 2 : le milieu de $[1\,;\,1{,}5]$ est $1{,}25$ . On a $f(1{,}25)\approx 1{,}953+3{,}75-5=0{,}703>0$ , donc la solution est dans $[1\,;\,1{,}25]$ .
Tour 3 : le milieu de $[1\,;\,1{,}25]$ est $1{,}125$ . On a $f(1{,}125)\approx 1{,}424+3{,}375-5=-0{,}201<0$ , donc la solution est dans $[1{,}125\,;\,1{,}25]$ .
La borne inférieure de l'intervalle obtenu est donc $1{,}125$ , et sa largeur est $\dfrac{1}{8}=0{,}125$ .

Après trois tours, la solution $\alpha$ vérifie $1{,}125\le\alpha\le 1{,}25$ . La largeur est divisée par $2$ à chaque tour : $1$ , puis $0{,}5$ , puis $0{,}25$ , puis $0{,}125$ .

Exercice 3 Localiser l'unique solution

★★★Environ 15 min

Soit $f(x)=x^3+x+1$ définie sur $\mathbb R$ .

Montre que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ .
Détermine ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$ , puis montre que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb R$ .
Détermine l'entier $n$ tel que $n\le\alpha<n+1$ .

Indice 1

Calcule la dérivée et étudie son signe.

Indice 2

Pour localiser $\alpha$ , teste des valeurs entières de $x$ jusqu'à trouver un changement de signe.

Voir la correction pas à pas

$f'(x)=3x^2+1>0$ pour tout réel $x$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ .
Le terme dominant est $x^3$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est continue (polynôme), strictement croissante, et $0$ est strictement compris entre ses limites. D'après le corollaire du TVI, $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb R$ .
On teste des entiers : $f(0)=1>0$ et $f(-1)=-1-1+1=-1<0$ .
Comme $f$ est strictement croissante, $f(-1)<0=f(\alpha)<f(0)$ donne $-1<\alpha<0$ , donc $n=-1$ .

L'unique solution vérifie $-1\le\alpha<0$ , donc $n=-1$ . Une valeur approchée est $\alpha\approx-0{,}682$ . Remarque que la solution est négative alors qu'on pourrait croire, en regardant le « +1 », qu'elle est positive : seul le calcul des signes tranche.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre le TVI et son corollaire ?

Le TVI donne l'existence d'au moins une solution, pour une fonction continue. Son corollaire ajoute l'hypothèse de stricte monotonie et donne alors l'unicité. Au bac, quand l'énoncé dit « une unique solution », c'est le corollaire qu'il faut citer, après avoir étudié les variations de $f$ .

Comment savoir si je dois utiliser le TVI dans un exercice ?

Dès qu'on te demande de montrer qu'une équation a une solution (ou une unique solution) sans la calculer, ou de justifier qu'une fonction s'annule. Les mots « admet une solution », « existe », « encadrer » sont des signaux. Si l'on te demande de résoudre l'équation par le calcul, c'est une autre méthode.

Pourquoi ne démontre-t-on pas la continuité en détail ?

Parce que les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques) sont continues sur leur ensemble de définition, et que somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continus. Une phrase suffit : « $f$ est continue car dérivable » ou « car composée de fonctions continues ».

La démonstration du TVI est-elle à connaître par cœur ?

Non : le TVI est admis, et sa démonstration par dichotomie est un approfondissement possible du programme. ¹ Il est quand même utile de comprendre l'idée (couper l'intervalle en deux, garder la moitié où $f$ change de signe, passer à la limite grâce à la continuité) et savoir programmer l'algorithme, plutôt que réciter une preuve complète.

Peut-on utiliser le TVI sur un intervalle ouvert comme $]0\,;\,+\infty[$ ?

Oui, en remplaçant les valeurs aux bornes par les limites de $f$ aux extrémités. Si $f$ est continue et strictement monotone sur $]a\,;\,b[$ et que $k$ est strictement compris entre ses deux limites, l'équation $f(x)=k$ a une unique solution dans cet intervalle. Écris toujours des limites, jamais « $f(+\infty)$ ».

Sources

Fonctions : limites et continuité - Document ressource, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de mathématiques - Spécialité, Éduscol - STI. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème des valeurs intermédiaires, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème des valeurs extrêmes, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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