Théorème des valeurs intermédiaires : quiz de Terminale

Quiz

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1. Quelle hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $f$ sur $[a,b]$ ?

   $f$ est dérivable en $a$ et en $b$$f$ est continue sur $[a,b]$$f$ est croissante sur $[a,b]$$f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires
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2. Vrai ou faux : si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors elle prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.

   VraiFaux
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3. On considère $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $[-1,1]$. On a $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$, donc $0$ est entre les deux. Pourquoi ne peut-on pas affirmer qu'il existe $c$ tel que $f(c)=0$ avec le TVI ?

   Parce que $f$ n'est pas continue sur $[-1,1]$ : elle n'est même pas définie en $0$Parce que $f$ est décroissanteParce que $f(-1)$ est négatifParce que $0$ n'est pas une valeur entière
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4. Soit $f$ continue sur $[0,2]$ avec $f(0)=-3$ et $f(2)=4$. Que peut-on affirmer ?

   L'équation $f(x)=0$ a exactement une solution dans $[0,2]$L'équation $f(x)=0$ a au moins une solution dans $[0,2]$L'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $[0,2]$L'équation $f(x)=5$ a au moins une solution dans $[0,2]$
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5. Soit $f$ continue sur $[1,5]$ avec $f(1)=2$ et $f(5)=10$. Parmi ces affirmations, lesquelles sont garanties par le TVI ? (plusieurs réponses)

   Plusieurs réponses possibles.

   L'équation $f(x)=5$ admet au moins une solution dans $[1,5]$L'équation $f(x)=10$ admet au moins une solution dans $[1,5]$L'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution dans $[1,5]$L'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution dans $[1,5]$
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6. La fonction $f(x)=2x+3$ est continue sur $[1,4]$, avec $f(1)=5$ et $f(4)=11$. Le réel $8$ est entre ces deux valeurs. Quel est l'antécédent $c$ de $8$ ?

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7. Que faut-il ajouter à la continuité de $f$ sur $[a,b]$ pour affirmer que l'équation $f(x)=k$ (avec $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$) a une seule solution ?

   Que $f(a)$ est positifQue $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$Que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$Que $a$ et $b$ sont entiers
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8. Vrai ou faux : le TVI fournit une méthode générale qui construit directement la valeur $c$ vérifiant $f(c)=k$.

   VraiFaux
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9. Un polynôme $P$ de degré impair, à coefficients réels, a des limites infinies et opposées en $+\infty$ et $-\infty$. Que peut-on en déduire ?

   $P$ a au moins une racine réelle$P$ a exactement une racine réelle$P$ n'a aucune racine réelle$P$ est strictement croissant
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10. On applique la dichotomie à $f(x)=x^2-2$ sur $[1,2]$ pour encadrer la solution de $f(x)=0$. On calcule $f(1{,}5)=0{,}25$. Quel est le nouvel intervalle ?

    $[1\,;1{,}5]$$[1{,}5\,;2]$$[1{,}25\,;1{,}75]$$[0\,;1{,}5]$
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11. Avec la dichotomie sur $[1,2]$ (amplitude de départ $1$), quelle est l'amplitude de l'intervalle après $3$ étapes ?

    Ta réponse
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12. Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0,3]$ avec $f(0)=-2$ et $f(3)=5$. Combien de solutions l'équation $f(x)=0$ a-t-elle dans $[0,3]$ ?

    AucuneAu moins deuxExactement uneOn ne peut pas savoir
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13. On définit sur $[0,2]$ : $f(x)=x$ si $x<1$ et $f(x)=x+2$ si $x\ge 1$. On a $f(0)=0$ et $f(2)=4$. Que peut-on dire de l'équation $f(x)=2$ ?

    Elle a une solution, d'après le TVIElle n'a aucune solution, et cela ne contredit pas le TVI car $f$ n'est pas continue en $1$Elle n'a aucune solution, ce qui contredit le TVIElle a exactement deux solutions
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14. Vrai ou faux : le TVI est parfois appelé théorème de Bolzano.

    VraiFaux
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15. Quel énoncé correspond au théorème des valeurs extrêmes (ou des bornes atteintes) ?

    Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, donc possède un minimum et un maximumUne fonction continue sur un intervalle est toujours strictement monotoneUne fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ est toujours continue et bornéeUne fonction continue prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$
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