Théorème des valeurs intermédiaires : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Si f est continue sur [a,b], elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).
Pour montrer que f(x)=k a une solution : continuité, intervalle, k entre f(a) et f(b), conclusion.
Avec une fonction strictement monotone en plus, la solution est unique.
Sans continuité, le théorème ne s'applique pas : toujours la justifier.
Le TVI prouve qu'une solution existe, il ne la calcule pas : on l'encadre par dichotomie.
L'énoncé à connaître
Montrer qu'une équation a une solution
Le TVI sert surtout à prouver l'existence de solutions d'une équation 3. C'est la question classique du bac : « Montrer que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans [0,1] ».
Version strictement monotone : solution unique
Encadrer la solution par dichotomie
Le TVI ne fournit pas de démonstration constructive générale de l'existence 3, mais son principe de démonstration repose sur la dichotomie2. Cette idée sert aussi à encadrer une solution.
Pièges et usages fréquents
Questions flash
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Le théorème porte sur les fonctions continues sur un intervalle 3. La croissance n'est pas requise : elle sert seulement à obtenir l'unicité. Le signe de f(a) et f(b) n'est pas une hypothèse : on demande que k soit entre les deux images.
Vrai : f est continue et 0 est compris entre −3 et 5, donc le TVI s'applique 3. L'erreur tentante est de croire qu'il faut une fonction monotone, ce qui n'est nécessaire que pour l'unicité.
On calcule 0,53+0,5−1=0,125+0,5−1=−0,375. Le signe négatif, avec f(1)=1>0, place la solution dans [0,5;1] ; une erreur fréquente est d'oublier de retrancher 1.
Une fonction continue strictement monotone ne prend chaque valeur qu'une fois 1, d'où l'unicité. Le TVI seul garantit seulement l'existence d'au moins une solution.
Les questions qu'on se pose
Le TVI permet-il de trouver la valeur de la solution ?
Non. C'est un théorème d'existence, sans démonstration générale constructive 3. Pour approcher la solution, on utilise la dichotomie ou la calculatrice, qui donnent un encadrement.
Faut-il toujours justifier la continuité au bac ?
Oui, en une phrase : par exemple « f est une fonction polynôme donc continue » ou « f est dérivable donc continue ». C'est une condition du théorème, et son oubli est sanctionné.
Quelle différence entre le TVI et le cas strictement monotone ?
Le TVI donne au moins une solution. Si f est de plus strictement monotone, la solution est unique1. Selon la question posée (« admet au moins une solution » ou « une unique solution »), tu adaptes ta rédaction.