Équation cartésienne d'un plan : cours de Terminale spé maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un plan de l'espace, dans un repère orthonormé, est l'ensemble des points M(x;y;z) qui vérifient une équation ax+by+cz+d=0 avec (a;b;c)=(0;0;0).
Le vecteur n(a;b;c) lu dans l'équation est un vecteur normal du plan : il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Pour trouver l'équation : on prend n(a;b;c), on écrit ax+by+cz+d=0, puis on calcule d=−(axA+byA+czA) avec un point A du plan.
Pour savoir si un point appartient au plan, on remplace ses coordonnées dans l'équation. Pour couper une droite et un plan, on remplace la représentation paramétrique de la droite dans l'équation.
Deux équations proportionnelles décrivent le même plan ; la condition « repère orthonormé » est indispensable pour lire le vecteur normal.
Pourquoi décrire un plan par une équation ?
Tu sais déjà décrire une droite de l'espace avec un point et un vecteur directeur, ou avec une représentation paramétrique. Pour un plan, on peut aussi utiliser un point et deux vecteurs, mais il existe une écriture beaucoup plus économique : une seule équation portant sur les coordonnées x, y et z.
Le programme de Terminale t'demande deux gestes complémentaires : écrire l'équation d'un plan quand on connaît l'un de ses points et un vecteur qui lui est perpendiculaire, puis, en sens inverse, repérer qu'une équation donnée est celle d'un plan et en tirer un vecteur normal.1 Aller de « point + vecteur normal » vers l'équation, puis de l'équation vers le vecteur normal : c'est le cœur de ce chapitre.
Dans tout le cours, l'espace est muni d'un repère orthonormé(O;i,j,k). Cette précision compte : dans un repère orthonormé, les calculs de distances et d'angles sont les plus simples, ce qui explique que beaucoup d'ouvrages réservent aux repères orthonormés le nom de coordonnées cartésiennes.5 Le produit scalaire que tu as vu dans l'espace s'exprime très simplement avec les coordonnées, et c'est lui qui va nous donner l'équation.
Le vecteur normal à un plan
Imagine une table parfaitement horizontale : un crayon planté droit dessus donne la direction d'un vecteur normal. On peut le tirer vers le haut ou vers le bas, le rendre plus long ou plus court : tous ces vecteurs sont normaux au plan de la table. Un plan a donc une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux.
Ce qui fixe un plan, c'est la donnée d'un point A et d'une direction normale. Le programme rappelle ainsi qu'à un point A et à un vecteur normal n correspond un plan, et que ce plan possède une équation cartésienne.1
Le théorème : forme de l'équation d'un plan
Démonstration · Pourquoi cette équation ?
Sens direct. Un point M(x;y;z) appartient au plan si et seulement si AM⋅n=0. Dans un repère orthonormé, AM a pour coordonnées (x−xA;y−yA;z−zA) et le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :
a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0.
En développant, on obtient ax+by+cz−(axA+byA+czA)=0. On pose d=−(axA+byA+czA) et l'on retrouve la forme annoncée.
Réciproque. Supposons par exemple a=0. Le point A(−ad;0;0) vérifie l'équation ax+by+cz+d=0. Pour tout point M, on a alors ax+by+cz+d=a(x+ad)+by+cz, ce qui revient à AM⋅n=0. L'ensemble des solutions est donc le plan passant par A et normal à n. Les cas b=0 ou c=0 se traitent de la même façon.
Déterminer l'équation d'un plan
Lire nLes coordonnées de n donnent a, b, c dans ax+by+cz+d=0.
Remplacer AMets les coordonnées de A à la place de x, y, z.
Calculer dRésous : d = -(a·xA + b·yA + c·zA).
VérifierLes coordonnées de A doivent donner 0 dans l'équation.
Trouver l'équation d'un plan · Méthode pour un plan défini par un point et un vecteur normal.
Reconnaître et lire une équation de plan
Le programme demande aussi d'aller dans l'autre sens : face à une équation, reconnaître qu'il s'agit d'un plan et en tirer des informations.1 Une équation ax+by+cz+d=0 est celle d'un plan dès que a, b, c ne sont pas tous nuls : le plan est orthogonal au vecteur v(a;b;c).4
Cas particuliers d'une équation de plan
Condition
Position du plan
a = 0
Parallèle à l'axe (Ox)
b = 0
Parallèle à l'axe (Oy)
c = 0
Parallèle à l'axe (Oz)
d = 0
Passe par l'origine O
Cas particuliers d'une équation de plan · Position du plan selon le coefficient nul, pour ax+by+cz+d=0.
Plans, droites et intersections
Une équation de plan sert à beaucoup de calculs. Les deux plus fréquents au baccalauréat sont l'intersection d'une droite avec un plan et l'écriture d'une droite comme intersection de deux plans.
Pièges, repère orthonormé et conseils pour le bac
La suite naturelle de ce chapitre est l'orthogonalité et le projeté orthogonal : l'équation cartésienne d'un plan fournit immédiatement la direction de la perpendiculaire à ce plan, ce qui permet de calculer le projeté orthogonal d'un point sur le plan et la distance d'un point à un plan.
Exercices corrigés
Exercice 1 Équation d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
★☆☆Environ 8 min
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit A(1;2;−1) et n(2;−1;3).
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A et de vecteur normal n.
Le point B(0;3;0) appartient-il à P ?
Indice 1
Les coefficients de x, y et z sont les coordonnées de n ; il ne reste que d à calculer.
Indice 2
Pour d, remplace x, y, z par les coordonnées de A et résous l'équation en d.
Voir la correction pas à pas
Le vecteur normal n(2;−1;3) donne la forme 2x−y+3z+d=0.
Comme A∈P, ses coordonnées vérifient l'équation : 2×1−2+3×(−1)+d=0, soit −3+d=0.
On en déduit d=3 : une équation de P est 2x−y+3z+3=0.
Vérification avec A : 2−2−3+3=0. C'est correct.
Pour B(0;3;0) : 2×0−3+3×0+3=0. L'égalité est vraie, donc B∈P.
Le plan a pour équation 2x−y+3z+3=0, et le point B lui appartient. Le réflexe de vérification avec A évite de laisser passer une erreur de signe sur d.
Exercice 2 Intersection d'une droite et d'un plan
★★☆Environ 12 min
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan P d'équation x+2y−z−4=0 et la droite d de représentation paramétrique
⎩⎨⎧x=1+ty=2+tz=3−t(t∈R).
Donner un vecteur normal à P et un vecteur directeur de d.
Déterminer la valeur du paramètre t pour laquelle le point de d appartient à P.
En déduire les coordonnées du point d'intersection de d et P.
Indice 1
Un point de d appartient à P si ses coordonnées, exprimées en fonction de t, vérifient l'équation du plan.
Indice 2
Développe soigneusement −z : le signe moins s'applique à 3−t en entier.
Voir la correction pas à pas
Un vecteur normal à P se lit sur l'équation : n(1;2;−1). Un vecteur directeur de d se lit sur les coefficients de t : u(1;1;−1).
On remplace dans l'équation du plan : (1+t)+2(2+t)−(3−t)−4=0.
On développe : 1+t+4+2t−3+t−4=0, soit 4t−2=0.
On résout : t=21.
On remplace dans la représentation de d : x=23, y=25, z=25.
Vérification dans l'équation du plan : 23+5−25−4=0. C'est exact.
La droite d coupe le plan P en un seul point, de coordonnées (23;25;25), obtenu pour t=21. Comme n⋅u=1+2+1=4=0, la droite n'est pas parallèle au plan : l'unicité du point d'intersection était prévisible.
Exercice 3 Plan défini par trois points
★★★Environ 15 min
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(1;0;0), B(0;2;0) et C(0;0;3).
Montrer que les points A, B, C définissent un plan.
Déterminer un vecteur normal à ce plan, puis une équation cartésienne du plan (ABC).
Le point D(2;−1;−2) appartient-il à ce plan ?
Indice 1
Pour la question 1, calcule AB et AC et vérifie qu'ils ne sont pas colinéaires.
Indice 2
Pour le vecteur normal, écris deux produits scalaires nuls et choisis une valeur simple pour a (par exemple une valeur qui évite les fractions).
Indice 3
Une fois n trouvé, termine comme dans l'exercice 1 en utilisant A.
Voir la correction pas à pas
On calcule AB(−1;2;0) et AC(−1;0;3). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de AC est nulle alors que celle de AB ne l'est pas. Les points ne sont donc pas alignés et définissent un plan.
On cherche n(a;b;c) orthogonal aux deux vecteurs : −a+2b=0 et −a+3c=0.
On choisit a=6 : alors b=3 et c=2. Un vecteur normal est n(6;3;2).
L'équation commence par 6x+3y+2z+d=0. En A : 6+d=0, donc d=−6.
Une équation du plan (ABC) est 6x+3y+2z−6=0.
Vérification avec B : 6−6=0 ; avec C : 6−6=0.
Pour D(2;−1;−2) : 12−3−4−6=−1=0. Donc D∈/(ABC).
Le plan (ABC) a pour équation 6x+3y+2z−6=0 et le point D n'en fait pas partie. Contrôle supplémentaire : comme A, B, C sont sur les axes en 1, 2 et 3, la forme 1x+2y+3z=1 rencontrée dans des cours de géométrie dans l'espace3 redonne, après multiplication par 6, la même équation.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les coefficients de x, y, z donnent un vecteur normal : (3;−2;1).4 La réponse (3;2;1) oublie le signe moins devant y. La réponse (3;−2;5) prend le terme constant 5 pour un coefficient de z, alors que le 5 est le nombre d, sans lien avec la direction normale.
On remplace par les coordonnées de A : 2+3×1+2×(−1)+d=0, soit 3+d=0, donc d=−3. L'erreur tentante est de répondre 3 en oubliant le signe : on aurait alors d=axA+byA+czA au lieu de d=−(axA+byA+czA), et le point A ne vérifierait plus l'équation.
La première équation s'obtient en multipliant la seconde par 2 : les quatre coefficients sont proportionnels, donc les ensembles de points solutions sont identiques. Penser que « les coefficients sont différents donc les plans le sont » est faux : un plan possède une infinité d'équations, toutes proportionnelles.
Ici c=0, donc le plan est parallèle à l'axe (Oz).4 Il n'est pas parallèle à (Ox) ni à (Oy), car cela demanderait a=0 ou b=0, or a=2 et b=1. Il ne passe pas par l'origine : en (0;0;0) on obtient −4=0.
On additionne les coordonnées de chaque point : 1+1+1=3, 3+0+0=3 et 2+2−1=3 conviennent. Pour (0;0;2) la somme vaut 2 et pour (1;2;1) elle vaut 4 : ces deux points ne vérifient pas l'équation, même s'ils « ressemblent » à des solutions.
En remplaçant x=y=z=0 dans l'équation, on obtient d=0. Le cas a=0 donne un plan parallèle à (Ox), qui ne passe pas forcément par l'origine. Les conditions a=b=c et a+b+c=0 portent sur la direction normale et n'ont aucun lien avec la position du plan.
C'est faux : la lecture du vecteur normal repose sur la formule du produit scalaire avec les coordonnées, valable dans un repère orthonormé.5 Dans un repère oblique, les angles ne sont pas conservés par la lecture des coordonnées, et le vecteur (a;b;c) n'est en général pas orthogonal au plan.
Une droite de l'espace est l'intersection de deux plans qui se coupent, donc on la décrit en écrivant ensemble leurs deux équations.4 Une seule équation de plan décrit un plan entier, pas une droite. L'équation y=ax+b vaut dans un plan muni d'un repère, pas dans l'espace. Trois plans parallèles n'ont aucun point commun, ou sont confondus.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un point appartient à un plan ?
Tu remplaces x, y et z dans l'équation du plan par les coordonnées du point. Si le membre de gauche vaut 0, le point appartient au plan ; sinon, il n'y appartient pas. C'est la même vérification qui sert à contrôler ton équation avec les points donnés par l'énoncé.
Pourquoi le vecteur $(a\,;b\,;c)$ est-il normal au plan ?
Parce que l'équation vient de l'égalité AM⋅n=0, où A est un point du plan et M un point quelconque du plan. Développée avec les coordonnées dans un repère orthonormé, cette égalité donne a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0, et les nombres a, b, c sont justement les coordonnées de n. Le programme demande de connaître ce lien dans les deux sens.1
Mon équation n'est pas la même que celle du corrigé : est-ce une erreur ?
Pas forcément. Un plan a une infinité d'équations, toutes proportionnelles. Si ton équation est le multiple ou le quotient de celle du corrigé par un réel non nul (par exemple 2x−4y+6z−2=0 et x−2y+3z−1=0), les deux décrivent le même plan. Pour trancher, compare les rapports entre les coefficients, ou remplace dans ton équation les points donnés par l'énoncé.
À quoi sert l'équation d'un plan au bac ?
Elle sert à calculer : déterminer si un point appartient à un plan, trouver l'intersection d'une droite et d'un plan en remplaçant la représentation paramétrique dans l'équation, ou décrire une droite comme intersection de deux plans.4 Elle prépare aussi le chapitre suivant, sur l'orthogonalité et le projeté orthogonal, où le vecteur normal lu dans l'équation donne la direction de la perpendiculaire au plan.
Que faire quand l'énoncé donne trois points au lieu d'un vecteur normal ?
Tu fabriques d'abord le vecteur normal : tu calcules deux vecteurs du plan (par exemple AB et AC), puis tu cherches n(a;b;c) tel que les deux produits scalaires avec n soient nuls. Le système a une infinité de solutions colinéaires : tu en choisis une simple. Ensuite tu termines comme avec un point et un vecteur normal, et tu vérifies avec les trois points.