Équation cartésienne d'un plan : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un plan de l'espace est caractérisé par un point A et un vecteur normal n(a;b;c) : il a une équation de la forme ax+by+cz+d=014.
Dans une équation ax+by+cz+d=0, les coefficients de x, y, z donnent un vecteur normal du plan 4.
Pour trouver d, on remplace x, y, z par les coordonnées du point connu.
Pour tester un point, on remplace ses coordonnées dans l'équation : le résultat doit être 0.
Une droite de l'espace peut se décrire avec deux équations de plans 4.
Ce qu'il faut savoir
Méthode : trouver l'équation d'un plan
Lire une équation de plan
Pièges et liens avec le reste du chapitre
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les coefficients de x, y, z donnent un vecteur normal : (3;−2;1). Le choix (3;−2;5) utilise à tort le terme constant d=5, qui ne fait pas partie du vecteur normal.
On remplace par les coordonnées de A : 2−2+12+d=0, donc d=−12. Répondre 12 oublie le changement de signe.
Le coefficient de y est nul (b=0), donc le plan est parallèle à l'axe (Oy). Ce n'est pas le terme constant qui compte ici, mais l'absence de y dans l'équation.
Pour (1;1;1) : 1+1+1−3=0. Pour (1;2;3) on trouve 3=0 ; pour l'origine, −3=0 ; pour (3;3;3), 6=0. Un point est dans le plan seulement si le résultat vaut exactement 0.
Les questions qu'on se pose
Un plan a-t-il une seule équation cartésienne ?
Non. Si tu multiplies tous les coefficients a, b, c, d par un même réel non nul, tu obtiens une autre équation du même plan. Par exemple, x+y+z−3=0 et 2x+2y+2z−6=0 décrivent le même plan. Les vecteurs normaux correspondants sont alors colinéaires.
Comment savoir si deux plans sont parallèles avec leurs équations ?
Compare leurs vecteurs normaux lus dans les équations. S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles (ou confondus). Pour savoir s'ils sont confondus, teste un point de l'un dans l'équation de l'autre.
Que faire si on me donne trois points au lieu d'un vecteur normal ?
Cherche d'abord un vecteur normal : un vecteur (a;b;c) orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formés avec les trois points, ce qui donne deux équations avec des produits scalaires nuls. Ensuite, applique la méthode habituelle avec l'un des points pour trouver d.