Équation cartésienne d'un plan : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un plan de l'espace a une équation de la forme ax+by+cz+d=0 et il est orthogonal au vecteur n(a;b;c)4.
Pour trouver l'équation d'un plan connaissant un point et un vecteur normal, on écrit ax+by+cz+d=0 avec les coordonnées de n, puis on calcule d avec le point 1.
Pour savoir si un point appartient au plan, on remplace ses coordonnées dans l'équation et on regarde si on obtient 0.
Une droite de l'espace se décrit par deux équations de plans 4.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur l'équation cartésienne d'un plan de l'espace. Il suppose que tu connais déjà le produit scalaire dans l'espace, les repères et les vecteurs de l'espace. Tu y travailles trois gestes que l'on attend en Terminale : lire un vecteur normal dans une équation, former une équation à partir d'un point et d'un vecteur normal, et reconnaître un plan donné par une équation 1.
Réponds d'abord sans regarder les explications, puis lis chaque correction, même quand ta réponse est juste : elle explique aussi pourquoi l'erreur tentante est fausse.
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le plan d'équation ax+by+cz+d=0 est orthogonal au vecteur (a;b;c)4. Ici a=2, b=−3, c=5, donc n(2;−3;5). Le vecteur (2;3;5) oublie le signe moins de b. Le vecteur (2;−3;7) prend d à la place de c, alors que d n'est pas une coordonnée du vecteur normal.
On écrit x−2y+4z+d=0, avec les coefficients du vecteur normal 1. Le point A appartient au plan : 1−4+12+d=0, donc 9+d=0 et d=−9. L'équation x−2y+4z+9=0 vient d'une erreur de signe sur d : avec A, elle donne 18=0. L'équation x+2y+3z−9=0 utilise les coordonnées du point A comme coefficients, ce qui est la confusion classique entre point et vecteur normal.
Le premier plan est orthogonal à (4;−2;6) et le second à (2;−1;3)4. Or (4;−2;6)=2×(2;−1;3) : les deux vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. Le fait que les nombres 1 et −5 soient différents ne change pas la direction du plan : il décale seulement le plan.
On remplace les coordonnées de A : 3×2+(−1)−2×0+d=0, soit 5+d=0, donc d=−51. Si tu trouves 5, tu as oublié de passer 5 de l'autre côté de l'égalité.
Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient l'équation 3. Pour (1;1;1) : 2+1−2−1=0, c'est bon. Pour (1;0;0) : 2−1=1. Pour (0;0;1) : −2−1=−3. Pour (0;1;1) : 1−2−1=−2. Ces trois points donnent un résultat différent de 0.
On remplace dans x+2y−z−4. Pour (4;0;0) : 4−4=0. Pour (0;2;0) : 4−4=0. Pour (1;1;−1) : 1+2+1−4=0. Pour (0;0;4) : −4−4=−8=0. Le piège est de croire qu'un point « sur un axe » est forcément dans le plan : il faut calculer.
Sur l'axe (Ox), on a y=0 et z=0, donc 3x−6=0 et x=2. Cela correspond à la formule du point (−ad;0;0)4, ici −3−6=2. Le point (−2;0;0) vient d'un signe oublié, et (6;0;0) d'une division par a oubliée.
Ici b=0 : le plan est parallèle à l'axe (Oy)4. Son vecteur normal (2;0;3) est orthogonal à (0;1;0), direction de l'axe (Oy). Il ne passe pas par l'origine, car 2×0+3×0−6=0. Il coupe en revanche (Ox) et (Oz) car a=0 et c=04.
Dans l'espace, une équation de la forme ax+by+cz+d=0 décrit un plan, ici avec c=04. C'est un plan de vecteur normal (1;1;0), parallèle à l'axe (Oz). Cette équation ressemble à celle d'une droite du plan parce que, dans un plan, ax+by+c=0 est bien une droite 4 ; mais ici la variable z est libre.
Une droite de l'espace est l'intersection de deux plans, donc elle se définit par deux équations de plans 4. Une seule équation ne donne qu'un plan. Une droite peut aussi se donner par une représentation paramétrique 1, mais cela n'empêche pas de la décrire avec deux équations cartésiennes.
Avec A(−1;2;3) : 2×(−1)+2−3+d=0, soit −3+d=0, donc d=31. L'erreur fréquente est de calculer −2+2+3 en oubliant que z est multiplié par −1.
Le plan d'équation x+y+z−1=0 est orthogonal à n(1;1;1)4. On calcule u⋅n=1−1+0=0 : les vecteurs sont orthogonaux, donc u dirige une droite parallèle au plan. Il n'est pas normal : un vecteur normal aurait pour coordonnées les coefficients (1;1;1), à un facteur près.
Avec n(0;0;3), l'équation s'écrit 3z+d=01. Le point A donne 6+d=0, donc d=−6 et 3z−6=0, c'est-à-dire z=2. Ce plan est « horizontal » : tous ses points ont la même cote. L'équation x=1 aurait pour vecteur normal (1;0;0), et z=0 est le plan passant par l'origine.
Le vecteur normal est n(2;1;−2)4. Sa norme vaut 22+12+(−2)2=9=3. Si tu obtiens 1 ou −3, tu as oublié les carrés ou la racine : une norme est toujours positive.
On remplace chaque point dans x+y+z : on trouve 1+0+0=1, 0+1+0=1 et 0+0+1=1. Les trois points vérifient donc l'équation. Le plan de la forme ax+by+cz=1 est de ce type 3 ; ici a=b=c=1.
La seconde équation s'obtient en multipliant la première par −2 : −4x+2y−2z+6=0. Deux équations proportionnelles ont les mêmes solutions, donc les mêmes points. Les vecteurs normaux (2;−1;1) et (−4;2;−2) sont alors colinéaires 4, mais ce critère seul ne suffit pas pour dire que les plans sont confondus : il faut aussi que la constante suive la même proportion.
Les questions qu'on se pose
Un plan a-t-il une seule équation cartésienne ?
Non. On peut multiplier tous les coefficients de ax+by+cz+d=0 par un même nombre non nul sans changer le plan. Le vecteur normal (a;b;c) change alors de longueur, mais pas de direction 4. Pour comparer deux équations, vérifie donc si elles sont proportionnelles.
Comment savoir rapidement si un point appartient à un plan ?
Remplace x, y et z par les coordonnées du point dans l'équation du plan. Si le résultat est 0, le point appartient au plan ; sinon, non 3. C'est aussi la vérification à faire après avoir calculé d.
Quelle est la différence entre une représentation paramétrique et une équation cartésienne ?
Le programme de Terminale demande de savoir déterminer une représentation paramétrique d'une droite et une équation cartésienne d'un plan 1. Une droite de l'espace peut aussi s'écrire avec deux équations de plans 4. Un plan, lui, se décrit avec une seule équation ax+by+cz+d=0.