Représentations paramétriques de droites : cours de Terminale

Dans le plan, tu as l'habitude de décrire une droite par une équation du type $y=mx+p$. Dans l'espace, une seule équation ne suffit plus : une équation comme $x+y+z=1$ décrit un plan, pas une droite. Il faut donc une autre manière de dire « voici exactement les points de cette droite ». C'est le rôle de la représentation paramétrique.

L'idée est simple : on fait « parcourir » la droite à un point mobile. Un nombre réel $t$, le paramètre, indique où se trouve le point sur la droite. Quand $t$ varie, le point $M(x\,;y\,;z)$ se déplace et ses trois coordonnées s'expriment en fonction de $t$. Dans le vocabulaire des mathématiques, un paramétrage décrit un ensemble comme l'ensemble image d'une fonction d'une ou plusieurs variables, appelées paramètres ⁴.

Le programme de spécialité de Terminale insiste sur ce point : l'objectif majeur de ce chapitre est une bonne maîtrise des représentations paramétriques de droites ¹. Les capacités attendues sont de déterminer une représentation paramétrique d'une droite et de reconnaître une droite donnée par une telle représentation ¹³. Ce cours suit exactement ces deux gestes, puis les utilise pour étudier des positions relatives et des intersections.

Cette dernière égalité est la clé de tout le chapitre. Elle dit que, pour atteindre n'importe quel point de la droite à partir de $A$, il suffit de se déplacer le long de $\vec u$ d'un certain « nombre de fois » $t$ : $t=2$ pour aller deux fois plus loin, $t=-1$ pour partir dans l'autre sens, $t=0$ pour rester en $A$.

Rappel sur la colinéarité en coordonnées : deux vecteurs non nuls $\vec u(a\,;b\,;c)$ et $\vec v(a'\,;b'\,;c')$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $a'=ka$, $b'=kb$ et $c'=kc$.

Ce vocabulaire est le même que celui des mathématiques en général : les coordonnées d'un point de la droite vérifient des égalités appelées équations paramétriques de la droite ⁴. Plus généralement, un sous-espace affine de dimension finie admet une représentation paramétrique affine dont le nombre de paramètres égale sa dimension ⁴. Une droite étant de dimension 1, un seul paramètre suffit : c'est pourquoi tu ne vois qu'une lettre $t$.

Une même droite peut être décrite par plusieurs systèmes différents. Cette remarque est vraie en général : une courbe ou une surface régulière peut admettre différentes paramétrisations ⁴. Ici, deux choix sont libres :

• le point de départ : n'importe quel point de la droite convient ;
• le vecteur directeur : n'importe quel vecteur non nul colinéaire à $\vec u$ convient.

Pour la droite $(AB)$ de l'exemple précédent, on peut par exemple partir de $B$ avec le vecteur $\overrightarrow{BA}(-2\,;3\,;-5)$ :

$\begin{cases} x = 3 - 2s \\ y = -1 + 3s \\ z = 4 - 5s \end{cases}\qquad (s\in\mathbb{R}).$

C'est la même droite : le point obtenu pour $s=1$ est $(1\,;2\,;-1)=A$. On peut aussi prendre le vecteur $(4\,;-6\,;10)=2\,\overrightarrow{AB}$, ou $\left(1\,;-\tfrac32\,;\tfrac52\right)=\tfrac12\,\overrightarrow{AB}$.

Conséquence importante : si ton résultat ne ressemble pas à celui du corrigé, ce n'est pas forcément faux. Pour comparer, regarde si les vecteurs directeurs sont colinéaires et si un point de l'une des droites appartient à l'autre.

Cas particulier utile : si le vecteur directeur a une coordonnée nulle, par exemple $c=0$, la coordonnée $z$ reste constante sur toute la droite ($z=z_A$). La droite est alors contenue dans un plan horizontal. Pour tester un point, il faut aussi vérifier cette constante avant de chercher $t$.

Dans l'espace, deux droites distinctes peuvent être parallèles, sécantes (un seul point commun) ou non coplanaires (ni parallèles, ni sécantes : elles ne sont contenues dans aucun plan commun). Les représentations paramétriques permettent de trancher par le calcul. Le programme mentionne d'ailleurs la position relative de droites et de plans parmi les situations à représenter et à étudier ¹.

Ces représentations serviront directement dans les chapitres suivants : le produit scalaire dans l'espace permettra de tester l'orthogonalité de deux droites à partir de leurs vecteurs directeurs, l'équation cartésienne d'un plan donnera une autre façon de calculer une intersection droite-plan, et le projeté orthogonal d'un point sur une droite se calculera en cherchant la valeur du paramètre qui rend un vecteur orthogonal à la direction.