Représentations paramétriques de droites : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une droite de l'espace se décrit par un pointA et un vecteur directeuru(a;b;c) non nul : x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc, avec t∈R.
Le paramètret parcourt tous les réels : chaque valeur donne un point de la droite, et chaque point de la droite correspond à une valeur de t.
Pour savoir si un point est sur la droite, on cherche un seult qui convient pour les trois coordonnées.
Pour une intersection, on utilise deux paramètres différents (t et s) et on résout le système à trois équations.
Une droite a une infinité de représentations paramétriques : changer de point ou de vecteur directeur change l'écriture, pas la droite.
Ce qu'il faut savoir
Construire une représentation
Appartenance d'un point
Intersection de deux droites
Pièges et réflexes
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le vecteur directeur se lit dans les coefficients de t : (−2;4;5). La réponse (3;1;0) est tentante mais ce sont les coordonnées du point obtenu pour t=0, pas la direction. (2;4;5) oublie le signe moins de x.
La première coordonnée donne t=1, qui vérifie aussi y=1, mais z=−1+3=2 et non 1. Il n'existe donc pas de t commun aux trois coordonnées. S'arrêter aux deux premières équations conduirait à répondre « Vrai » à tort.
On peut choisir n'importe quel point de la droite comme point de départ et n'importe quel vecteur directeur non nul, par exemple en multipliant le premier par un réel non nul. La droite est la même, seule l'écriture change. Croire à l'unicité vient de l'habitude de l'équation réduite y=ax+b en géométrie plane.
On calcule z=−1+3×4=11. L'erreur classique est de calculer 3×4=12 sans ajouter la coordonnée de départ −1, ou d'oublier le signe de zA.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si deux droites données par des représentations paramétriques sont parallèles ?
Compare leurs vecteurs directeurs, lus dans les coefficients de t et de s. S'ils sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre), les droites sont parallèles, ou confondues. Pour trancher, teste si un point de l'une appartient à l'autre.
Pourquoi utiliser deux lettres différentes pour chercher une intersection ?
Le point commun correspond en général à une valeur de t sur la première droite et à une autre valeur s sur la seconde. Avec une même lettre, tu imposerais la même valeur, ce qui est une condition en trop et peut te faire manquer l'intersection.
Que faire si l'énoncé donne une droite par deux équations cartésiennes ou par deux points ?
Avec deux points, le vecteur AB sert de vecteur directeur et tu pars de A. C'est la situation la plus courante au bac. Le programme fait de la maîtrise des représentations paramétriques de droites un objectif majeur 1.