Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac
Représentations paramétriques de droites : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une droite de l'espace se décrit par trois égalités qui donnent , et en fonction d'un unique paramètre .
- Les coefficients de forment un vecteur directeur ; les termes constants donnent les coordonnées d'un point de la droite.
- Un point appartient à la droite si une seule et même valeur de convient pour les trois coordonnées.
- Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : change de point ou de vecteur directeur colinéaire.
- Pour deux droites, on compare d'abord les vecteurs directeurs, puis on cherche un éventuel point commun avec deux paramètres distincts.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur les représentations paramétriques de droites de l'espace, une compétence explicitement visée par le programme de spécialité de Terminale : déterminer une représentation paramétrique d'une droite et reconnaître une droite donnée par une telle représentation 1. Une représentation paramétrique décrit un ensemble de points comme l'image d'une fonction d'un ou plusieurs paramètres 4. Pour une droite, il n'y a qu'un paramètre, noté ici .
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le point fournit les termes constants , , et le vecteur fournit les coefficients de : , , . La deuxième proposition échange point et vecteur. La troisième oublie le signe de dans la deuxième coordonnée. La quatrième est la droite de même direction passant par l'origine, pas par .
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On remplace par dans la première égalité : . L'erreur tentante est de calculer ou de remplacer dans une autre coordonnée : chaque coordonnée a sa propre égalité.
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C'est faux : une même courbe peut admettre différentes paramétrisations 4. Pour une droite, on peut changer de point de départ ou remplacer le vecteur directeur par un vecteur colinéaire non nul. Croire à l'unicité vient de l'habitude de l'équation réduite d'une droite du plan, qui est unique, alors qu'ici le paramétrage ne l'est pas.
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Les coefficients de sont , et (car ). La deuxième proposition lit les termes constants, qui donnent un point. La troisième et la quatrième se trompent d'un signe : serait colinéaire, mais ne l'est pas.
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Pour : donne , puis et , donc le même convient. Pour , donne . Pour , donne . Pour , donne . Il ne suffit pas qu'une coordonnée fonctionne.
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C'est vrai : un point est sur la droite s'il existe un réel qui vérifie simultanément les trois égalités. Trouver un qui marche pour une seule coordonnée ne prouve rien. L'erreur tentante consiste à s'arrêter après la première équation.
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On a , donc . Pour , . C'est le milieu de , dont la cote est . Utiliser comme vecteur au lieu de donnerait un résultat faux.
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La première passe par , point de (pour ), avec le vecteur , colinéaire à celui de . La deuxième part du même point avec le vecteur opposé, ce qui donne la même droite. La troisième a le bon vecteur mais passe par , qui n'est pas sur . La quatrième a le bon point mais n'est pas colinéaire à .
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Les vecteurs directeurs et sont colinéaires, donc les droites sont parallèles ou confondues. Le point de (pour ) est sur : pour on trouve , , . Elles sont donc confondues et non strictement parallèles. Conclure « parallèles » sans tester un point est l'erreur tentante.
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Les vecteurs directeurs et ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles. Pour une intersection, les deux premières égalités donnent et , d'où et . Or la troisième exige : contradiction. Pas de point commun et pas de parallélisme : les droites sont non coplanaires. Dire « sécantes » parce que les directions diffèrent est faux : il faut vérifier les trois équations.
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La troisième égalité de donne pour tout point de . Avec : donc . On vérifie : donne , et est juste. Le point est . Il ne faut pas confondre (paramètre de ) et (paramètre de ).
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Un sous-espace affine admet une représentation paramétrique dont le nombre de paramètres est égal à sa dimension 4. Une droite est de dimension 1 : un paramètre suffit. Les trois coordonnées , , sont décrites par ce seul paramètre. Deux paramètres décriraient un plan, trois ne sont pas nécessaires dans l'espace.
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Le vecteur est non nul, donc l'ensemble est bien une droite. Qu'une coordonnée soit constante signifie seulement que le coefficient de est . Cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, dont les vecteurs directeurs ont leurs deux autres coordonnées nulles. Ce n'est pas un point, car et varient avec .
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On calcule et on part de . La deuxième proposition prend les coordonnées de comme vecteur. La troisième mélange la cote de dans le terme constant, alors que a une cote nulle. La quatrième utilise l'ordonnée de au lieu de celle de .
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Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires. Comme , on cherche le coefficient qui transforme en et en : c'est . Alors . Répondre oublie le changement de signe imposé par les deux autres coordonnées.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi utilise-t-on deux paramètres différents pour étudier l'intersection de deux droites ?
Chaque droite possède son propre paramètre, et un point commun correspond en général à deux valeurs différentes, par exemple sur la première droite et sur la seconde. Si tu utilises la même lettre pour les deux, tu imposes que le point soit atteint au même « instant », ce qui peut te faire conclure à tort qu'il n'y a pas d'intersection.
Comment savoir quel point et quel vecteur choisir pour écrire une représentation paramétrique ?
Peu importe : n'importe quel point de la droite et n'importe quel vecteur directeur non nul conviennent. Une courbe peut admettre différentes paramétrisations 4. Choisis les valeurs qui simplifient tes calculs, par exemple un point à coordonnées entières, puis vérifie en remplaçant par et par .
Ce type de question tombe-t-il au Bac ?
Le programme de spécialité de Terminale demande de savoir déterminer une représentation paramétrique d'une droite et de reconnaître une droite donnée par une telle représentation 1. Ces compétences servent dans les exercices de géométrie dans l'espace : appartenance d'un point, positions relatives de deux droites, intersection.
Sources
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale (PDF complet), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Bulletin officiel spécial n°8 du 13 octobre 2011 - Mathématiques Série S, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Projet d'aménagement 2026 - Mathématiques Terminale générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Représentation paramétrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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