Représentations paramétriques de droites : exercices de Tle

On applique la forme générale avec $x_A=1$, $y_A=2$, $z_A=-1$ et $(a\,;b\,;c)=(3\,;-2\,;4)$ : $x=1+3t$, $y=2-2t$, $z=-1+4t$, avec $t\in\mathbb{R}$.

Pour $t=2$ : $x=1+3\times 2=7$.

Pour $t=2$ : $y=2-2\times 2=-2$ et $z=-1+4\times 2=7$. Donc $M(7\,;-2\,;7)$.

La somme des coordonnées vaut $7+(-2)+7=12$.

$\overrightarrow{AB}(5-2\,;1-(-1)\,;-1-3)=(3\,;2\,;-4)$.

La droite passe par $A$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ : $x=2+3t$, $y=-1+2t$, $z=3-4t$.

Pour $t=1$, on obtient $(5\,;1\,;-1)$, c'est-à-dire $B$. Donc $B$ correspond à $t=1$.

Le milieu $I$ a pour abscisse $\dfrac{2+5}{2}=3{,}5$. On résout $2+3t=3{,}5$, d'où $t=0{,}5$.

Contrôle sur $y$ : $-1+2\times 0{,}5=0$, et la moyenne de $-1$ et $1$ vaut bien 0. Sur $z$ : $3-4\times 0{,}5=1$, moyenne de $3$ et $-1$. Le même $t$ convient.

Pour $t=0$ on obtient le point $(1\,;0\,;3)$. Les coefficients de $t$ donnent le vecteur directeur $(2\,;-1\,;1)$.

Pour $E$ : $1+2t=5$ donne $t=2$.

On vérifie $y$ : $-t=-2$ ✓. On vérifie $z$ : $3+t=5$ ✓. Le même $t=2$ convient aux trois équations, donc $E\in d$.

Pour $F$ : $1+2t=3$ donne $t=1$.

On vérifie $y$ : $-t=-1$ ✓. Mais $z$ : $3+t=4$, alors que la coordonnée de $F$ est $5$ ✗. Aucun $t$ ne convient aux trois équations, donc $F\notin d$.

Les vecteurs $(1\,;-1\,;2)$ et $(2\,;1\,;-1)$ ne sont pas colinéaires : le rapport des premières coordonnées est $2$, celui des deuxièmes est $-1$. Les droites ne sont donc pas parallèles.

Un point commun correspond à $t$ et $s$ vérifiant $1+t=2s$, $2-t=s$, $3+2t=6-s$.

La deuxième équation donne $s=2-t$. On remplace dans la première : $1+t=2(2-t)$, soit $3t=3$, donc $t=1$ et $s=1$.

On teste la troisième équation : $3+2\times 1=5$ et $6-1=5$ ✓. Le système a une solution.

Pour $t=1$ dans $d$ : $(2\,;1\,;5)$. Pour $s=1$ dans $d'$ : $(2\,;1\,;5)$. Même point.

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec u(2\,;-1\,;1)$, un vecteur directeur de $d'$ est $\vec v(-4\,;2\,;-2)$.

On remarque que $\vec v=-2\,\vec u$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $d$ et $d'$ sont parallèles.

Prenons le point $P(4\,;1\,;0)$ de $d'$ (pour $s=0$). Est-il sur $d$ ?

$1+2t=4$ donne $t=1{,}5$. Mais $y=-t$ donne alors $-1{,}5$, alors que $P$ a pour ordonnée $1$ : incohérent.

Le point $P$ n'est pas sur $d$. Deux droites parallèles qui ont un point non commun ne sont pas confondues.

Les vecteurs directeurs sont $(1\,;2\,;1)$ et $(2\,;-1\,;1)$. Ils ne sont pas colinéaires (rapports $2$ et $-\dfrac12$ pour les deux premières coordonnées), donc les droites ne sont pas parallèles.

Système : $1+t=2+2s$, $2t=1-s$, $-1+t=3+s$.

La première équation donne $t=1+2s$. On reporte dans la deuxième : $2+4s=1-s$, d'où $5s=-1$ et $s=-\dfrac15$.

On reporte dans la troisième : $-1+(1+2s)=3+s$, soit $2s=3+s$, donc $s=3$.

On a obtenu $s=-\dfrac15$ puis $s=3$ : contradiction. Le système n'a aucune solution, donc les droites n'ont pas de point commun.

Représentation de $\Delta$ : $x=2+t$, $y=-1+2t$, $z=4-2t$.

Le point cherché vérifie $z=0$, donc $4-2t=0$ et $t=2$.

Pour $t=2$ : $x=2+2=4$ et $y=-1+4=3$.

Le point d'intersection est $(4\,;3\,;0)$, d'abscisse $4$.

Seule l'ordonnée est connue : $1-2t=-5$, d'où $-2t=-6$ et $t=3$.

On en déduit $a=2+3=5$.

On en déduit $b=-3+3\times 3=6$.

Donc $P(5\,;-5\,;6)$ et $a+b=5+6=11$.