Étude complète d'une fonction : cours de 1re spécialité maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Étudier une fonction dérivable, c'est calculer f′, étudier son signe, puis en déduire le tableau de variations, les extremums et les tangentes utiles.
Sur un intervalle I, f′≥0 donne une fonction croissante, f′≤0 une fonction décroissante 1.
Un extremum local apparaît là où f′ s'annule en changeant de signe ; f′(a)=0 seul ne suffit pas.
La tangente en a a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)2.
Pour un trinôme ax2+bx+c, f′(x)=2ax+b : le sommet est en x=−2ab.
Toujours vérifier le résultat avec quelques valeurs calculées et la courbe.
Pourquoi étudier une fonction ?
Une fonction décrit comment une grandeur dépend d'une autre : le bénéfice d'une entreprise selon la quantité produite, la hauteur d'un ballon selon le temps, l'aire d'une figure selon une longueur. Pour répondre à des questions comme « où est-ce maximal ? », « quand cela augmente-t-il ? » ou « comment la courbe se comporte-t-elle près d'un point ? », on étudie la fonction.
En première, l'outil central est la dérivation. Le programme y consacre une place importante : fonction dérivable sur un intervalle, fonction dérivée, dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les fonctions dérivables, et lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation 1. Ce cours rassemble ces notions en une démarche complète, utilisable sur n'importe quelle fonction polynôme de ton programme.
Tu vas apprendre à :
calculer la dérivée d'une fonction à partir des règles du cours ;
étudier le signe de cette dérivée ;
dresser le tableau de variations ;
repérer les extremums ;
écrire l'équation d'une tangente ;
rédiger une étude propre, comme on l'attend à l'examen.
Ce que tu dois connaître avant
Le lien entre dérivée et variations
C'est le cœur du chapitre. Le programme relie le signe de la dérivée aux variations de la fonction, dès lors que celle-ci est dérivable sur un intervalle 1. L'idée est intuitive : la dérivée mesure la pente de la tangente. Si la pente est positive, la courbe monte ; si elle est négative, la courbe descend.
La méthode d'étude complète
DériverCalculer f'(x) avec les règles du cours
FactoriserÉcrire f'(x) sous forme de produit
Signe de f'Tableau de signes sur chaque intervalle
TableauFlèches de variation et images
ConclureExtremums, tangente, solutions
Les étapes d'une étude de fonction · Démarche à suivre pour toute fonction dérivable.
Exemple complet : une fonction polynôme de degré 3
Variations de f sur [−3 ; 5]
Intervalle
Signe de f'(x)
Variations de f
[−3 ; −1]
Positif
Croissante de −22 à 10
[−1 ; 3]
Négatif
Décroissante de 10 à −22
[3 ; 5]
Positif
Croissante de −22 à 10
Variations de f sur [−3 ; 5] · Tableau de variations de f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.
Courbe de f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 · Maximum local en x = −1, minimum local en x = 3.
Le cas particulier du second degré
Le programme prévoit d'appliquer la dérivation à l'étude d'un trinôme 1. Le résultat est très régulier et à connaître.
Démonstration · Preuve des variations du trinôme
On a f′(x)=2ax+b=2a(x−α) avec α=−2ab.
Cas a>0 : pour x<α, x−α<0 donc f′(x)<0 ; pour x>α, f′(x)>0. D'après le lien entre signe de la dérivée et variations 1, f décroît avant α et croît après : c'est un minimum.
Cas a<0 : les signes s'inversent, d'où un maximum.
Quand la fonction est un produit
Les fonctions de ton programme ne sont pas toujours des sommes de puissances. Quand elles sont écrites sous forme d'un produit, on utilise la règle du produit (f×g)′=f′g+fg′2. Après dérivation, il faut développer ou factoriser pour étudier le signe.
Le maximum est atteint en x=3 : 300 unités, pour un bénéfice de 4 milliers d'euros.
Le bénéfice maximal vaut 4 milliers d'euros pour x=3, soit 300 unités produites.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Sur ]−1;3[, x+1>0 et x−3<0 : le produit est négatif, donc f est décroissante. Répondre « positif » vient d'un oubli du signe du facteur x−3.
Une dérivée positive donne une fonction croissante 1. La positivité de f′ ne dit rien sur le signe de f : confondre les deux est une erreur classique.
C'est faux : pour f(x)=x3, f′(0)=0 mais f est croissante sur R. Il faut que f′change de signe en 0.
C'est un théorème du cours 2. La réciproque, elle, est fausse : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 01.
On applique (uv)′=u′v+uv′2 : 1×(x2+2)+(x−1)×2x=3x2−2x+2. Le choix « 2x » vient de l'erreur u′v′.
On a f(2)=5 et f′(2)=4 ; la tangente est y=4(x−2)+52. En x=3, y=4+5=9. Donner 10 revient à lire la courbe f(3)=10 au lieu de la tangente.
f′(x)=−4x+8 s'annule en 2 et passe de + à − : c'est un maximum. Un minimum est impossible car le coefficient −2 de x2 est négatif.
Dériver, étudier le signe de f′ et dresser le tableau forment le cœur de la méthode. Les limites en l'infini ne relèvent pas de l'étude sur un intervalle borné de ce cours.
Les questions qu'on se pose
Faut-il toujours factoriser la dérivée ?
Presque toujours. Un produit de facteurs du premier degré se lit directement dans un tableau de signes. Si la factorisation n'est pas évidente, calcule le discriminant du trinôme pour trouver ses racines.
Comment savoir si un extremum est local ou global ?
Un extremum local se repère par un changement de signe de f′. Pour savoir s'il est global sur un intervalle, compare toutes les images du tableau : celles des points d'annulation de f′ et celles des bornes.
À quoi sert la tangente dans une étude de fonction ?
La tangente approche la courbe près d'un point. Son équation y=f′(a)(x−a)+f(a)2 permet d'estimer des valeurs proches et de décrire la direction de la courbe. À l'examen, on te demande souvent de la calculer.
Que faire si la dérivée ne s'annule jamais ?
Alors elle garde un signe constant sur l'intervalle (sous réserve qu'elle soit continue) et la fonction est monotone, sans extremum à l'intérieur. C'est le cas de h(x)=(x−1)(x2+2), dont la dérivée est toujours positive.
Comment vérifier mon tableau de variations ?
Calcule une valeur de f en un point de chaque intervalle et compare-la aux valeurs des bornes. Si la fonction est censée croître, l'image doit se situer entre les deux. Un graphique à la calculatrice confirme aussi l'allure.