Étude complète d'une fonction : fiche de 1re spécialité
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Étudier une fonction, c'est : domaine, dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations, valeurs utiles (extremums, tangente).
Le signe de f′ donne le sens de variation de f : f′>0 pour croissante, f′<0 pour décroissante.
Un extremum local apparaît quand f′ s'annule en changeant de signe.
La tangente en a a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a).
Avant de dériver, vérifie que la fonction est dérivable là où tu l'étudies (attention à x et ∣x∣ en 0).
Ce qu'il faut savoir avant de commencer
Étudier une fonction complètement, c'est rassembler dans un même raisonnement son domaine, sa dérivée, ses variations, ses extremums et, si on te le demande, une tangente. Cette fiche te donne l'ordre des gestes et les pièges à éviter.
Les outils de dérivation
La méthode en cinq étapes
DomaineOù f est définie et dérivable
DérivéeCalculer f'(x) et factoriser
Signe de f'Tableau de signes
VariationsFlèches selon le signe de f'
Valeurs utilesExtremums, tangente
Les étapes d'une étude de fonction · Ordre à suivre pour une étude complète
Exemple rédigé
Pièges fréquents
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Sur ]0;2[, x>0 et x−2<0, donc le produit 3x(x−2) est négatif et f est décroissante. Répondre « positif » vient d'un oubli du signe de x−2 : il est négatif avant 2.
f(2)=23−3×22+2=8−12+2=−2. L'erreur tentante est de donner f′(2)=0 : la dérivée s'annule en 2, mais la valeur de f est bien −2.
C'est vrai : la dérivabilité en a entraîne la continuité en a. 2 La réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0. 1
La pente est f′(1)=3×12−6×1=−3. Donner f(1)=0 confondrait l'ordonnée du point de tangence avec la pente de la droite.
Les questions qu'on se pose
Que faire si la dérivée ne se factorise pas facilement ?
Si f′ est un polynôme du second degré, étudie son signe avec son discriminant et ses racines éventuelles : le programme prévoit d'étudier une fonction polynôme du second degré en lien avec la dérivation. 1 Pour un quotient, étudie séparément le numérateur et le dénominateur de f′.
Faut-il toujours dresser un tableau de variations ?
Oui dès que l'énoncé demande les variations ou les extremums. Le tableau est la façon la plus claire de montrer que tu relies le signe de f′ aux variations de f. Il fait gagner des points car il rend ton raisonnement lisible.