Étude complète d'une fonction : exercices corrigés de 1re

On dérive terme à terme : $f'(x)=2x-4$.

On résout $2x-4>0$, soit $x>2$. Donc $f'(x)<0$ pour $x<2$ et $f'(x)>0$ pour $x>2$.

Le signe de $f'$ donne les variations : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ puis croissante sur $[2\,;+\infty[$.

La dérivée change de signe en $2$ : c'est un minimum. On calcule $f(2)=2^2-4\times2+3=4-8+3=-1$.

On dérive : $f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$.

$f'$ est un trinôme de coefficient dominant positif : elle est positive à l'extérieur des racines $-2$ et $2$, négative entre les deux.

$f$ est donc croissante sur $]-\infty\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$.

En $x=-2$, $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local. $f(-2)=(-2)^3-12\times(-2)+5=-8+24+5=21$.

En $x=2$, on aurait un minimum local $f(2)=8-24+5=-11$.

On calcule $f(2)=4+6-1=9$.

On dérive : $f'(x)=2x+3$, donc $f'(2)=7$.

On applique la formule de la tangente : $y=7(x-2)+9=7x-14+9=7x-5$.²

L'axe des ordonnées correspond à $x=0$ : on obtient $y=-5$.

Avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x-1$ : $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}$.²

On développe le numérateur : $2x-2-2x-1=-3$. Donc $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$.

Un carré est positif et ne s'annule pas sur $]1\,;+\infty[$ : $f'(x)<0$ sur tout l'intervalle. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1\,;+\infty[$.¹

Pour $x=3$ : $f'(3)=\dfrac{-3}{(3-1)^2}=\dfrac{-3}{4}=-0{,}75$.

On dérive : $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Positive sur $[-2\,;-1[$, négative sur $]-1\,;1[$, positive sur $]1\,;2]$.

On calcule les images utiles : $f(-2)=-8+6+1=-1$ ; $f(-1)=-1+3+1=3$ ; $f(1)=1-3+1=-1$ ; $f(2)=8-6+1=3$.

Tableau : $f$ croît de $-1$ à $3$ sur $[-2\,;-1]$, décroît de $3$ à $-1$ sur $[-1\,;1]$, croît de $-1$ à $3$ sur $[1\,;2]$.

Le maximum de $f$ sur $[-2\,;2]$ est $3$ (atteint en $-1$ et en $2$).

Sur chacun des trois intervalles, $f$ est strictement monotone et passe d'une valeur négative à une valeur positive (ou l'inverse) : le tableau de variations montre que la courbe traverse une fois l'axe des abscisses sur chaque intervalle. Il y a donc $3$ solutions.

Le dénominateur vaut au moins $1$, donc il ne s'annule jamais : $f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.²

Avec $u=x$, $u'=1$, $v=x^2+1$, $v'=2x$ : $f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Le dénominateur est strictement positif, donc le signe de $f'$ est celui de $1-x^2=(1-x)(1+x)$ : négatif sur $]-\infty\,;-1[$, positif sur $]-1\,;1[$, négatif sur $]1\,;+\infty[$.

Variations : $f$ décroît sur $]-\infty\,;-1]$, croît sur $[-1\,;1]$, décroît sur $[1\,;+\infty[$.

Le maximum local est en $x=1$ : $f(1)=\dfrac{1}{1^2+1}=\dfrac12$.

On a $f(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-f(x)$. Le minimum local est donc $f(-1)=-\dfrac12$.

On dérive : $f'(x)=3x^2+a$.

La tangente en $1$ a pour coefficient directeur $f'(1)=3+a$. Horizontale veut dire $f'(1)=0$, donc $a=-3$.

Avec $a=-3$ : $f(x)=x^3-3x+2$ et $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

$f'$ est positive sur $]-\infty\,;-1[$, négative sur $]-1\,;1[$, positive sur $]1\,;+\infty[$ : $f$ croît, décroît, puis croît.

On calcule $f(1)=1-3+2=0$ et $f(-1)=-1+3+2=4$.

Il faut $x\geq0$ et $12-2x\geq0$, donc $x\in[0\,;6]$.

La base est un carré de côté $12-2x$, la hauteur est $x$ : $V(x)=x(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x$.

On dérive : $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$.

Sur $[0\,;6]$, $x-6\leq0$. Donc $V'$ est positive sur $[0\,;2[$ et négative sur $]2\,;6]$.

$V$ croît sur $[0\,;2]$ puis décroît sur $[2\,;6]$, avec $V(0)=0$, $V(2)=2\times8^2=128$, $V(6)=0$.

Le maximum est atteint en $x=2$ et vaut $128$ cm³.