Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques
Étude complète d'une fonction : quiz de 1re (spécialité)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Étudier une fonction, c'est : domaine, dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations, valeurs remarquables.
- Le signe de sur un intervalle donne le sens de variation de ; un extremum demande un changement de signe de .
- La tangente en a pour équation .
- Dérivable en un point entraîne continue en ce point, mais pas l'inverse.
Avant de commencer
Ce quiz couvre toute la démarche d'une étude complète de fonction en Première : calculer une dérivée, en étudier le signe, dresser un tableau de variations, repérer un extremum et écrire une tangente. Il porte aussi sur quelques points de théorie : dérivabilité et continuité, cas de la racine carrée et de la valeur absolue en 0.1
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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La dérivée de la fonction carré est , celle de est et celle d'une constante est : on obtient .1 La réponse vient d'une confusion avec la constante , qui disparaît en dérivant. Dans , on a oublié le facteur de la dérivée de .
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C'est faux : le programme précise que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.1 Elle est pourtant définie en 0, d'où l'erreur tentante : être défini en un point ne suffit pas pour être dérivable en ce point.
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Le signe de la dérivée donne le sens de variation : une dérivée positive correspond à une fonction croissante.1 « Positive » est la confusion classique : le signe de renseigne sur les variations de , pas sur le signe de . Une fonction constante aurait une dérivée nulle.
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La dérivée de la fonction cube est , donc .1 Alors . Si tu trouves , tu as calculé l'image au lieu du nombre dérivé ; si tu trouves , tu as oublié que la dérivée de est et non ajouté.
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On a et . La formule donne .2 La réponse vient d'une erreur de signe en développant. La réponse utilise le coefficient , c'est-à-dire au lieu de .
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On a , qui s'annule en , est négative avant et positive après : décroît puis croît. Le minimum est donc . L'erreur fréquente est de donner , qui est l'abscisse du minimum et non sa valeur.
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C'est vrai : une fonction définie et dérivable en est continue en .2 Attention à ne pas inverser l'implication, ce que teste la question suivante.
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On utilise la formule du produit .2 Avec et : . Dériver chaque facteur séparément et multiplier () est l'erreur typique : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. La réponse oublie le second terme .
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On a , qui s'annule en et . Ce trinôme est négatif entre ses racines : est donc décroissante sur et croissante en dehors. En , passe de positif à négatif, donc maximum local . L'affirmation « croissante sur » est fausse car à l'intérieur. Enfin : c'est le minimum local, pas .
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Il faut savoir sur quel ensemble on travaille avant de dériver : une dérivée n'a de sens que là où la fonction est dérivable, et la racine carrée en 0 en est un exemple.1 Le tableau de variations vient en fin de parcours, après l'étude du signe de . Le tracé à la calculatrice peut aider à vérifier mais ne démontre rien.
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La dérivée de la fonction inverse est .1 Donc . Trouver revient à calculer ; trouver vient d'une dérivation de la forme qui oublie le carré.
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Ici est positive de part et d'autre de 0 : s'annule sans changer de signe, donc est strictement croissante et n'a pas d'extremum en 0. Annuler la dérivée est nécessaire mais non suffisant pour avoir un extremum : il faut aussi un changement de signe. Une fonction constante aurait une dérivée nulle sur tout un intervalle.
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La tangente est horizontale quand son coefficient directeur est nul.2 Ici donne , et . L'erreur fréquente est de répondre , qui est l'abscisse du point, alors que la question demande l'ordonnée.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fonction a un extremum en un point ?
Calcule , résous , puis étudie le signe de de part et d'autre de chaque solution. S'il y a changement de signe, il y a un extremum (maximum si passe de à , minimum dans l'autre sens). Sans changement de signe, comme pour en 0, il n'y en a pas.1
Pourquoi faut-il vérifier l'ensemble de dérivabilité avant de dériver ?
Parce qu'une formule de dérivée n'est valable que là où la fonction est dérivable. La racine carrée, par exemple, n'est pas dérivable en 0 et la valeur absolue non plus : une étude qui ignorerait ces points serait fausse.1
Que retenir pour l'épreuve ?
Soigne la rédaction : indique l'ensemble d'étude, écris , justifie le signe par une factorisation, puis conclus sur les variations avec un tableau. Pour une tangente, écris la formule avant de remplacer.2
Sources
- Programme de mathématiques de première générale (PDF complet), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
- Pré-rentrée : fonctions (guide de révision), Université de Toulouse — Mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
- Analyse fonctionnelle (conception), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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