Nombre dérivé et tangente : cours de Première spécialité maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le taux de variation de f entre a et a+h est la pente de la sécante ; quand h tend vers 0, s'il a une limite finie, cette limite est le nombre dérivéf′(a) et f est dérivable en a.2
Graphiquement, f′(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.2
Équation de la tangente en a : y=f′(a)(x−a)+f(a).
Un nombre dérivé nul donne une tangente horizontale ; s'il change de signe, la fonction admet un extremum local.2
Une rupture de continuité en un point interdit la dérivabilité en ce point.2
Ce que mesure un nombre dérivé
Quand tu regardes la courbe d'une fonction, deux questions se posent naturellement. Que fait la fonction globalement : elle monte, elle descend, elle a un maximum quelque part ? Et que fait-elle à un endroit précis : à quelle vitesse la courbe monte-t-elle en ce point ? Le programme de Première distingue justement ces deux points de vue : le point de vue local, celui du nombre dérivé, et le point de vue global, celui de la fonction dérivée.1 Ce cours est consacré au premier, le nombre dérivé. La fonction dérivée viendra ensuite, comme suite logique.
Le nombre dérivé en un point est une vitesse de variation : il mesure la rapidité avec laquelle la fonction change quand sa variable change, et il tient compte du sens (une vitesse peut être négative).2 Les ressources officielles proposent de l'interpréter dans plusieurs contextes : pente d'une tangente, vitesse instantanée.1 Un même nombre peut donc se lire sur un graphique, se calculer par une limite, ou s'interpréter comme une vitesse. Ces trois lectures sont complémentaires, et il est utile de passer de l'une à l'autre.1
Taux de variation et sécante
Pour mesurer comment une fonction f varie, on commence par comparer deux points de sa courbe. Prenons un point A d'abscisse a et un deuxième point M d'abscisse a+h, où h est un réel non nul (positif ou négatif). Les coordonnées sont A(a;f(a)) et M(a+h;f(a+h)). La droite (AM) s'appelle une sécante : elle coupe la courbe en deux points.
La pente se calcule comme toujours : variation verticale divisée par variation horizontale. Ici, la variation verticale est f(a+h)−f(a) et la variation horizontale est (a+h)−a=h. Le taux de variation ne fait donc rien d'autre que mesurer la « pente moyenne » de la courbe entre les deux points.
Du taux de variation au nombre dérivé
Dans l'exemple précédent, plus h est petit, plus le taux de variation est proche de 2. Cette idée est exactement celle du nombre dérivé : on regarde ce que devient le taux de variation quand le deuxième point vient se confondre avec le premier.
La dérivabilité en un point se résume donc à une condition : le taux d'accroissement doit y avoir une limite finie.2 Dans l'exemple précédent, la limite de 2+h quand h tend vers 0 vaut 2. Ainsi, pour f(x)=x2, la fonction est dérivable en 1 et f′(1)=2.
Le nombre dérivé, pente de la tangente
Faisons maintenant le lien avec la géométrie. Quand h devient petit, le point M se rapproche de A et la sécante (AM) pivote autour de A. Sa position se stabilise vers une droite limite : la tangente à la courbe en A. Le calcul d'une limite de taux de variation revient donc à chercher la pente de la tangente.2
Cette présentation suppose une courbe tracée d'un seul trait, bien « lisse » : c'est le type de courbe pour lequel on dira que la fonction est dérivable.2 Sur ton graphique, la tangente est la droite qui « épouse » la courbe au point considéré, sans la traverser en général dans son voisinage immédiat pour les courbes simples que tu rencontres.
Parabole d'équation y = x² et sa tangente en A(1 ; 1) · La tangente en A a pour équation y = 2x − 1 ; sa pente 2 est le nombre dérivé f'(1).
On fait aussi le chemin inverse : connaissant un nombre dérivé, on peut construire la tangente en un point.1 On place le point de la courbe, puis on trace depuis ce point la droite de la pente indiquée. Si f′(a)=−2, par exemple, on descend de 2 unités chaque fois qu'on avance de 1 vers la droite.
Équation de la tangente
Une tangente est une droite : elle a une équation. Nous connaissons deux informations sur la tangente en a : elle passe par le point (a;f(a)) de la courbe, et sa pente est f′(a).2 Une droite est entièrement déterminée par un point et une pente, ce qui donne la formule suivante.
Démonstration · Pourquoi cette formule
Notons m=f′(a) le coefficient directeur de la tangente. Un point P(x;y) distinct de A(a;f(a)) est sur la droite de pente m passant par A si et seulement si la pente de (AP) vaut m, c'est-à-dire
x−ay−f(a)=m⟺y−f(a)=m(x−a)⟺y=m(x−a)+f(a).
Le point A lui-même vérifie l'égalité (les deux membres valent f(a)). On retrouve la formule.
Signe du nombre dérivé, variations et extremums
Le signe du nombre dérivé renseigne sur le comportement de la courbe. Une pente positive signifie que la courbe monte quand on va vers la droite, une pente négative qu'elle descend. Voici les liens entre signe et variations.
Remarque importante : annuler le nombre dérivé ne suffit pas à garantir un extremum. Il faut aussi un changement de signe. Dans le cas contraire, on obtient un point d'inflexion, où la courbe change de concavité.2 Tu étudieras ces situations plus en détail dans le chapitre sur les variations et les extremums.
Quand une fonction n'est pas dérivable
Toutes les fonctions ne sont pas dérivables en tout point. Le nombre dérivé n'existe que si la tangente, ou l'approximation affine, existe.2 Si le taux de variation n'a pas de limite finie quand h tend vers 0, il n'y a pas de nombre dérivé.
Prenons l'exemple d'une fonction qui « fait un saut » : la courbe est coupée en deux morceaux au niveau du saut. On ne peut pas y définir de tangente : le taux de variation devient démesuré quand h se rapproche de 0, et la pente apparente est verticale.2 C'est le cas de la fonction signe en 0.2
Méthode complète et pièges de l'épreuve
À l'écrit, deux types de questions reviennent : calculer un nombre dérivé (ou en lire un sur un graphique), puis en déduire l'équation d'une tangente. La méthode ci-dessous les enchaîne.
Calculer f(a)Remplace x par a dans la fonction.
Former le tauxÉcris (f(a+h) − f(a)) / h et simplifie par h.
Passer à la limiteRegarde la valeur vers laquelle tend le taux : f'(a).
Écrire la tangentey = f'(a)(x − a) + f(a), puis développe.
VérifierPour x = a, l'équation doit redonner f(a).
Déterminer l'équation d'une tangente
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer un nombre dérivé par la définition
★☆☆Environ 8 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2.
Calcule, pour h=0, le taux de variation de f entre 3 et 3+h.
En déduis le nombre dérivé f′(3).
Indice 1
Développe (3+h)2 puis simplifie le numérateur.
Indice 2
Une fois le quotient simplifié, regarde ce qu'il devient quand h tend vers 0.
Voir la correction pas à pas
On a f(3)=9 et f(3+h)=(3+h)2=9+6h+h2.
Le taux de variation est h9+6h+h2−9=h6h+h2=6+h pour h=0.
Quand h tend vers 0, 6+h tend vers 6.
Donc f est dérivable en 3 et f′(3)=6.
Le nombre dérivé est la limite du taux de variation : ici la pente de la tangente à la parabole au point d'abscisse 3 vaut 6.2
Exercice 2 Équation d'une tangente
★★☆Environ 12 min
Soit f(x)=x2−4x+1. On admet que f′(1)=−2.
Calcule f(1).
Détermine l'équation réduite de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 1.
Calcule l'ordonnée du point de T d'abscisse 3.
Indice 1
Utilise la formule y=f′(a)(x−a)+f(a) avec a=1.
Indice 2
Pour la dernière question, remplace x par 3 dans l'équation de T.
Voir la correction pas à pas
f(1)=1−4+1=−2.
Avec a=1, f′(1)=−2 et f(1)=−2 : y=−2(x−1)−2.
On développe : y=−2x+2−2=−2x.
Pour x=3 : y=−2×3=−6. Le point de T d'abscisse 3 a pour ordonnée −6.
La tangente T a pour équation y=−2x et passe par le point de coordonnées (3;−6). On vérifie que T passe par (1;−2) : −2×1=−2.
Exercice 3 Vitesse instantanée
★★★Environ 15 min
Un objet se déplace sur une droite. Sa position, en mètres, à l'instant t (en secondes) est donnée par d(t)=5t2 pour t≥0.
Calcule la vitesse moyenne entre les instants t=2 et t=2+h pour h>0.
En déduis la vitesse instantanée à l'instant t=2.
Interprète ce nombre graphiquement.
Indice 1
La vitesse moyenne est le taux de variation de d entre 2 et 2+h.
Indice 2
Développe (2+h)2 avant de simplifier.
Voir la correction pas à pas
d(2)=5×4=20 et d(2+h)=5(4+4h+h2)=20+20h+5h2.
Vitesse moyenne : h20+20h+5h2−20=h20h+5h2=20+5h, en m/s.
Quand h tend vers 0, ce taux tend vers 20 : d′(2)=20, donc la vitesse instantanée à t=2 est de 20 m/s.
Graphiquement, 20 est la pente de la tangente à la courbe de d au point d'abscisse 2.
Le nombre dérivé s'interprète ici comme une vitesse instantanée et, sur le graphique, comme la pente de la tangente.1
Quiz
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Le nombre dérivé est la pente de la tangente au point d'abscisse a.2 L'ordonnée du point est f(a), pas f′(a) : c'est la confusion classique entre valeur et pente. La sécante a une pente de taux de variation, qui n'est qu'une approximation du nombre dérivé.
C'est faux : une rupture de continuité en un point empêche la dérivabilité à cet endroit.2 Il est tentant de croire qu'une courbe « cassée » garde une tangente, mais au niveau d'un saut, la tangente n'est pas définie.
On applique y=f′(1)(x−1)+f(1)=2(x−1)+3=2x+1. La réponse y=2x+3 oublie de retrancher 2×1 : elle passe par (1;5) et non par (1;3). La réponse y=3x+2 inverse la pente et l'ordonnée.
L'équation est y=−3(x−2)+5. Pour x=4 : y=−3×2+5=−1. Si tu trouves −6 ou 11, tu as oublié d'ajouter f(2)=5 ou tu as mal géré le signe de la pente.
Un nombre dérivé nul donne une tangente horizontale.2 Un extremum local demande en plus un changement de signe du nombre dérivé en ce point ; sinon on obtient un point d'inflexion.2 La fonction n'est pas pour autant constante.
Les deux premières sont des définitions du cours.12 Un nombre dérivé peut être négatif : la tangente descend alors. Poser h=0 rend le dénominateur nul : on simplifie d'abord, on regarde ensuite la limite.
On calcule 4−1f(4)−f(1)=316−1=5. L'erreur tentante est de diviser par 4 ou par 1 au lieu de la différence des abscisses, 3.
Un nombre dérivé négatif sur un intervalle correspond à une fonction décroissante sur cet intervalle.2 Le signe du nombre dérivé donne le sens de variation, pas le signe des valeurs de la fonction : une fonction décroissante peut très bien rester positive.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre taux de variation et nombre dérivé ?
Le taux de variation se calcule entre deux points distincts et donne la pente d'une sécante.1 Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand le deuxième point se rapproche du premier, et donne la pente de la tangente.2 Le premier dépend de h, le second est un nombre fixe.
À quoi sert le nombre dérivé ?
Il mesure à quelle vitesse une fonction change en un point : pente d'une tangente, vitesse instantanée.1 Il permet aussi de tracer des tangentes, d'étudier les variations d'une fonction et de résoudre des problèmes d'optimisation.2 C'est la base du reste du chapitre sur la dérivation.
Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?
Il faut que le taux de variation admette une limite finie en ce point.2 Un premier test rapide : regarde si la courbe est coupée ou fait un saut à cet endroit. Si c'est le cas, la fonction n'est pas continue et ne peut donc pas être dérivable.2 La réciproque est fausse : une courbe continue n'est pas forcément dérivable en tout point.
Que faire si je dois lire un nombre dérivé sur un graphique et que la tangente est tracée ?
Choisis deux points de la tangente faciles à lire, de préférence sur des nœuds de la grille, puis calcule la variation verticale divisée par la variation horizontale.1 Fais attention au signe : une tangente qui descend de gauche à droite donne un nombre dérivé négatif.
Une tangente horizontale signifie-t-elle toujours un maximum ou un minimum ?
Non. Quand le nombre dérivé est nul, la tangente est horizontale.2 Il y a extremum local seulement si le nombre dérivé change de signe en ce point ; sinon c'est un point d'inflexion.2