Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Nombre dérivé et tangente : exercices corrigés de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la limite du taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0 ; il existe si cette limite est finie ².
Graphiquement, le nombre dérivé est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ ².
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ ; elle passe par le point $(a\,;\,f(a))$ et a pour pente $f'(a)$ .
Un nombre dérivé nul signifie une tangente horizontale ; positif, la fonction croît localement ; négatif, elle décroît ².
Les exercices vont du calcul d'un taux d'accroissement à l'équation d'une tangente et à la vitesse instantanée.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices sont classés par difficulté croissante. Pour chacun, cherche d'abord seul, sur papier, puis ouvre un indice si tu bloques, et seulement ensuite la correction. Lis la correction étape par étape : chaque étape correspond à une action précise, que tu dois pouvoir refaire sans aide.

Calculerf(a) puis f(a+h), en développant.
SoustraireFormer f(a+h) - f(a).
SimplifierDiviser par h, h non nul.
LimiteFaire tendre h vers 0.

Calculer un nombre dérivé par la définition · Les quatre étapes de la méthode.

Rappels utiles pour les corrections

Les exercices

Exercice 1 Premier calcul avec la définition

★☆☆Environ 6 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ .

Pour $h \neq 0$ , exprime et simplifie le taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3+h$ .
En déduire $f'(3)$ .

Indice 1

Développe $(3+h)^2$ avec l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Indice 2

Après soustraction de $f(3) = 9$ , tu dois pouvoir factoriser par $h$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(3) = 3^2 = 9$ .
On développe $f(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2$ .
On forme la différence : $f(3+h) - f(3) = 6h + h^2$ .
On divise par $h$ (non nul) : le taux d'accroissement vaut $\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$ .
Quand $h$ tend vers 0, $6 + h$ tend vers 6, donc $f'(3) = 6$ .

Le nombre dérivé de $x \mapsto x^2$ en 3 vaut $6$ : la tangente à la parabole au point d'abscisse 3 a pour pente 6.

Exercice 2 Lire une pente sur un graphique

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère, la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point $A(1\,;\,2)$ passe aussi par le point $B(3\,;\,6)$ .

Quelle est la valeur de $f'(1)$ ?

Indice 1

Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente.

Indice 2

Un coefficient directeur se calcule avec $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

Voir la correction pas à pas

Le nombre dérivé $f'(1)$ est la pente de la tangente en $A$ ².
La tangente est la droite $(AB)$ , dont on connaît deux points.
On calcule la pente : $\frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
On conclut : $f'(1) = 2$ .

En lisant deux points de la tangente, on retrouve le nombre dérivé sans connaître l'expression de $f$ .

Exercice 3 Un polynôme du second degré

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x) = 3x^2 - x$ définie sur $\mathbb{R}$ . Calcule $f'(2)$ à l'aide de la définition du nombre dérivé.

Indice 1

Calcule d'abord $f(2)$ , puis $f(2+h)$ en développant $3(2+h)^2$ .

Indice 2

N'oublie pas le terme $-(2+h)$ dans $f(2+h)$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(2) = 3 \times 4 - 2 = 10$ .
On développe $f(2+h) = 3(4 + 4h + h^2) - (2 + h) = 12 + 12h + 3h^2 - 2 - h = 10 + 11h + 3h^2$ .
On forme la différence : $f(2+h) - f(2) = 11h + 3h^2$ .
On divise par $h$ : le taux d'accroissement vaut $11 + 3h$ .
Quand $h$ tend vers 0, on obtient $f'(2) = 11$ .

Le terme $-x$ de la fonction apporte $-1$ à la pente, et le terme $3x^2$ apporte $12$ : on retrouve $12 - 1 = 11$ .

Exercice 4 Équation d'une tangente

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x) = x^2$ . On sait que $f'(3) = 6$ .

Écris l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse 3.
Quelle est l'ordonnée à l'origine de $T$ ?

Indice 1

Utilise $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec $a = 3$ .

Indice 2

Pour l'ordonnée à l'origine, remplace $x$ par 0 dans l'équation de $T$ .

Voir la correction pas à pas

On identifie les données : $a = 3$ , $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ .
On écrit l'équation : $y = 6(x - 3) + 9$ .
On développe : $y = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$ .
L'ordonnée à l'origine est la valeur de $y$ pour $x = 0$ : $6 \times (0 - 3) + 9 = -9$ .

La tangente a pour équation $y = 6x - 9$ ; elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,-9)$ . Vérification : en $x = 3$ , elle donne $6 \times 3 - 9 = 9 = f(3)$ , donc elle passe bien par le point de tangence.

Exercice 5 Une tangente horizontale

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$ .

Calcule $f'(2)$ avec la définition.
Que peux-tu dire de la tangente en 2 ? Donne son équation.

Indice 1

Calcule $f(2) = -3$ , puis développe $f(2+h)$ ; les termes en $h$ se simplifient.

Indice 2

Un nombre dérivé nul correspond à une tangente horizontale.

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$ .
On développe $f(2+h) = (4 + 4h + h^2) - 8 - 4h + 1 = -3 + h^2$ .
On forme la différence : $f(2+h) - f(2) = h^2$ .
On divise par $h$ : le taux d'accroissement vaut $h$ , qui tend vers 0, donc $f'(2) = 0$ .
Un nombre dérivé nul signifie que la tangente est horizontale ² : son équation est $y = 0\,(x-2) + (-3)$ , soit $y = -3$ .

La courbe a une tangente horizontale d'équation $y = -3$ au point d'abscisse 2. Comme la parabole a ses branches vers le haut, ce point est son minimum : on retrouve qu'un extremum s'accompagne d'une tangente horizontale ¹.

Exercice 6 Vitesse instantanée d'un mobile

★★☆Environ 10 min

Un objet lâché sans vitesse initiale parcourt, en $t$ secondes, la distance $d(t) = 5t^2$ (en mètres), avec $t \geq 0$ .

Calcule la vitesse moyenne entre $t = 2$ et $t = 2 + h$ .
En déduire la vitesse instantanée à l'instant $t = 2$ , en m/s.

Indice 1

La vitesse moyenne est le taux d'accroissement de $d$ entre $2$ et $2+h$ .

Indice 2

La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne quand $h$ tend vers 0.

Voir la correction pas à pas

On calcule $d(2) = 5 \times 4 = 20$ .
On développe $d(2+h) = 5(4 + 4h + h^2) = 20 + 20h + 5h^2$ .
La vitesse moyenne est $\frac{d(2+h) - d(2)}{h} = \frac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h$ .
La vitesse instantanée est le nombre dérivé $d'(2)$ , vu comme vitesse instantanée ¹ : quand $h$ tend vers 0, $20 + 5h$ tend vers 20.

À l'instant $t = 2$ s, la vitesse de l'objet est de $20$ m/s. La vitesse moyenne sur $[2\,;\,2{,}1]$ vaut $20{,}5$ m/s : elle est proche de la vitesse instantanée, mais pas égale.

Exercice 7 Une fonction inverse

★★★Environ 14 min

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Montre que, pour $h > 0$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $2+h$ vaut $-\dfrac{1}{2(2+h)}$ .
En déduire $f'(2)$ , puis l'équation de la tangente en 2.

Indice 1

Réduis au même dénominateur : $\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2} = \frac{2 - (2+h)}{2(2+h)}$ .

Indice 2

Une fois le numérateur égal à $-h$ , simplifie par $h$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(2) = \frac{1}{2}$ et $f(2+h) = \frac{1}{2+h}$ .
On réduit au même dénominateur : $f(2+h) - f(2) = \frac{2 - (2+h)}{2(2+h)} = \frac{-h}{2(2+h)}$ .
On divise par $h$ (non nul) : le taux d'accroissement vaut $-\frac{1}{2(2+h)}$ .
Quand $h$ tend vers 0, $2 + h$ tend vers 2, donc le taux tend vers $-\frac{1}{4}$ : $f'(2) = -\frac{1}{4}$ .
On applique $y = f'(2)(x-2) + f(2)$ : $y = -\frac{1}{4}(x-2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$ .

Le nombre dérivé est négatif, donc la fonction est décroissante autour de $x = 2$ ², ce que confirme la courbe de la fonction inverse. La tangente a pour équation $y = -\frac{1}{4}x + 1$ ; en $x = 2$ elle vaut $\frac{1}{2} = f(2)$ .

Exercice 8 Chercher le point à pente donnée

★★★Environ 14 min

Soit $f(x) = x^2$ et $a$ un réel quelconque.

Calcule le nombre dérivé $f'(a)$ en fonction de $a$ , avec la définition.
Pour quelle valeur de $a$ la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ a-t-elle pour pente $10$ ?
Écris alors son équation.

Indice 1

Développe $(a+h)^2$ et simplifie par $h$ : le résultat dépend de $a$ .

Indice 2

Pour la question 2, résous l'équation $f'(a) = 10$ .

Voir la correction pas à pas

On développe $f(a+h) = a^2 + 2ah + h^2$ , donc $f(a+h) - f(a) = 2ah + h^2$ .
On divise par $h$ : le taux d'accroissement vaut $2a + h$ , qui tend vers $2a$ : $f'(a) = 2a$ .
La pente est $10$ lorsque $2a = 10$ , c'est-à-dire $a = 5$ .
On calcule $f(5) = 25$ et $f'(5) = 10$ .
On écrit $y = 10(x - 5) + 25 = 10x - 25$ .

La tangente de pente 10 touche la parabole au point $(5\,;\,25)$ et a pour équation $y = 10x - 25$ . Pour $a = 3$ , la formule $2a$ redonne $6$ : c'est cohérent avec le premier exercice.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Une fonction est dérivable en $a$ si son taux d'accroissement admet une limite finie quand $h$ tend vers 0 ². Un premier test rapide : regarde si la courbe se brise ou fait un saut en $a$ ; dans ce cas, il n'y a pas de tangente et donc pas de nombre dérivé ². Au programme de Première, les fonctions étudiées sont régulières ¹, mais vérifie toujours le point précis où tu travailles.

Quelle est la différence entre le taux d'accroissement et le nombre dérivé ?

Le taux d'accroissement dépend de $h$ : c'est la pente d'une sécante entre deux points de la courbe ¹. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand $h$ tend vers 0 : c'est la pente de la tangente ². Le premier est un calcul sur un intervalle, le second est une valeur en un seul point.

À quoi sert l'équation de la tangente ?

Elle donne la droite qui épouse au mieux la courbe près d'un point. On s'en sert pour tracer la tangente à partir du nombre dérivé ¹, pour estimer des valeurs proches de $f(a)$ et pour justifier un tableau de variations. Retiens la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ et vérifie toujours qu'elle redonne $f(a)$ pour $x = a$ .

Que signifie un nombre dérivé égal à 0 ?

La courbe admet une tangente horizontale au point considéré ². Si le nombre dérivé change de signe en ce point, la fonction y a un extremum local ². Un nombre dérivé nul ne suffit pas à lui seul à conclure à un extremum : il faut regarder le signe de part et d'autre.

Sources

Ressources Éduscol — Mathématiques de spécialité Première (Dérivation), Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Dérivée, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Premier calcul avec la définition

Exercice 2 Lire une pente sur un graphique

Exercice 3 Un polynôme du second degré

Exercice 4 Équation d'une tangente

Exercice 5 Une tangente horizontale

Exercice 6 Vitesse instantanée d'un mobile

Exercice 7 Une fonction inverse

Exercice 8 Chercher le point à pente donnée

Les questions qu'on se pose

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