Nombre dérivé et tangente : fiche de révision de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le nombre dérivé de f en a mesure la pente de la tangente à la courbe, au point d'abscisse a2.
Il se calcule comme la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 ; si cette limite est finie, f est dérivable en a2.
La tangente en A(a;f(a)) a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a).
Signe du nombre dérivé : positif, la fonction croît ; négatif, elle décroît ; nul, tangente horizontale 2.
Si la courbe présente un saut en un point, la fonction n'y est pas dérivable 2.
L'idée : de la sécante à la tangente
L'étude de la dérivation se fait à deux échelles : un point de vue local (le nombre dérivé en un point) et un point de vue global (la fonction dérivée) 1. Cette fiche traite le point de vue local.
Imagine une courbe tracée d'un seul trait et bien lisse. On dit alors que la fonction associée est dérivable 2. Prends deux points de cette courbe : la droite qui les relie est une sécante. Sa pente est un taux de variation1. Si tu rapproches le second point du premier, la sécante tourne et se rapproche d'une droite limite : la tangente.
Définition du nombre dérivé
Équation de la tangente
Ce que dit le signe du nombre dérivé
Pièges à éviter
Questions flash
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Le nombre dérivé est la pente de la tangente en a2. L'ordonnée est f(a), qui est un tout autre nombre : elle repère le point, elle ne mesure pas l'inclinaison.
C'est faux : en un point de discontinuité, on ne peut pas définir de tangente, donc la fonction n'y est pas dérivable 2.
On applique y=f′(a)(x−a)+f(a)=3(x−2)+5=3x−1. La réponse y=3x+5 est tentante mais elle oublie de retrancher 3×2 : elle donnerait y=11 en x=2 au lieu de 5.
Le taux d'accroissement vaut 6+h, qui tend vers 6 quand h tend vers 0, donc f′(3)=6. Garder le h ou répondre 9 (la valeur f(3)) serait une erreur.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?
Étudie le taux d'accroissement hf(a+h)−f(a) : si, quand h tend vers 0, il admet une limite finie, la fonction est dérivable en a2. Graphiquement, la courbe doit être lisse en ce point, sans saut. Une fonction qui fait un saut n'est pas dérivable à cet endroit 2.
À quoi sert le nombre dérivé ?
Il donne la pente de la tangente, donc la direction de la courbe en un point 2. Il sert aussi à interpréter une vitesse instantanée 1 et prépare l'étude des variations : son signe renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction 2.
Que signifie un nombre dérivé nul ?
La courbe admet une tangente horizontale en ce point 2. Si le nombre dérivé change de signe à cet endroit, il y a un extremum local 2. Sans changement de signe, il n'y a en général pas d'extremum : c'est le cas de x↦x3 en 0.