Équation de cercle : quiz de Première spécialité maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre C(a;b) et de rayon r a pour équation (x−a)2+(y−b)2=r22.
Un point appartient au cercle si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation : on remplace et on compare.
Une équation développée se ramène à la forme ci-dessus en reconnaissant des débuts de carrés ; le second membre doit être strictement positif pour obtenir un cercle 1.
Pour un cercle de diamètre [AB], un point M est sur le cercle quand MA⋅MB=02.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur l'équation d'un cercle dans un repère orthonormé. Il couvre la lecture du centre et du rayon, l'écriture d'une équation à partir de données géométriques, la vérification qu'un point appartient à un cercle, la reconnaissance d'une équation développée et l'intersection avec une droite. En Première, on te demande d'écrire l'équation d'un cercle quand tu connais son centre et son rayon, puis de faire le chemin inverse : face à une équation, savoir dire s'il s'agit d'un cercle et en tirer le centre et le rayon 1.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On applique (x−a)2+(y−b)2=r2 avec a=2, b=−3, r=52. Comme b=−3, on écrit y−(−3)=y+3, et r2=25. La réponse (x+2)2+(y−3)2=25 inverse les signes du centre ; celle avec =5 oublie de mettre le rayon au carré ; la dernière garde y−3 au lieu de y+3.
On met x+1 sous la forme x−(−1), donc a=−1, et y−4 donne b=42. Le centre est (−1;4). Le choix (1;−4) inverse le signe des deux coordonnées, alors que y−4 se lit directement : chaque parenthèse se lit séparément.
Le second membre vaut r2=49, donc r=49=72. Répondre 49 est l'erreur tentante : ce nombre est le carré du rayon, pas le rayon. Répondre 24,5 (la moitié) n'a aucun sens ici.
L'équation du cercle est x2+y2=25. Pour A : 32+42=9+16=25, l'égalité est vérifiée, donc A est sur le cercle 2. Beaucoup d'élèves comparent 3+4=7 à 5 et concluent à tort que A n'y est pas : il faut élever chaque coordonnée au carré.
On remplace : (4−1)2+(0−2)2=9+4=13. Or 13=9, donc B n'est pas sur le cercle. L'erreur tentante est de ne regarder que (4−1)2=9 et d'oublier le terme en y : les deux parenthèses doivent être additionnées avant la comparaison.
Le rayon est la distance ΩA : r2=(5−2)2+(5−1)2=9+16=25, donc r=5. Dans un repère orthonormé, cette distance découle du théorème de Pythagore, qui est aussi à l'origine de l'équation du cercle 2. Répondre 25 revient à donner r2 ; répondre 7 (3+4) additionne les écarts au lieu de combiner leurs carrés.
Le centre est le milieu de [AB] : (3;4). On a AB2=42+42=32, donc le rayon vérifie r2=(2AB)2=432=8. L'erreur tentante est de prendre AB2=32 comme second membre : c'est le carré du diamètre, pas celui du rayon. La réponse avec 4 divise 32 par 8 au lieu de 4.
On complète les carrés : x2−6x=(x−3)2−9 et y2+4y=(y+2)2−4. L'équation devient (x−3)2+(y+2)2−9−4−3=0, soit (x−3)2+(y+2)2=16. Le centre est (3;−2) et le rayon 16=41. L'erreur 16 oublie la racine carrée ; 3 oublie de reporter les constantes 9 et 4 à droite.
On complète les carrés : (x−1)2−1+(y+3)2−9+14=0, soit (x−1)2+(y+3)2=−4. Une somme de deux carrés ne peut pas être négative, donc aucun point ne convient. Pour obtenir un cercle, le second membre doit être strictement positif 1. S'il était nul, on aurait un seul point ; l'erreur est de lire −4 comme un rayon sans regarder son signe.
La première est un cercle de centre (1;2) et de rayon 2 ; la dernière un cercle de centre O et de rayon 12. La deuxième a pour seule solution (0;0) : c'est un point, pas un cercle. La troisième a un second membre négatif, donc aucune solution. L'erreur tentante est de croire que toute équation de la forme « carré + carré = nombre » décrit un cercle.
On remplace y par 5 : x2+25=25, donc x2=0 et x=0. Il n'y a qu'un seul point commun, (0;5) : la droite est tangente au cercle. La méthode, qui consiste à résoudre un système formé de l'équation du cercle et de celle de la droite, est celle de la géométrie analytique 2. Répondre 2 est l'erreur fréquente quand on suppose qu'une droite coupe toujours un cercle en deux points.
On remplace y par x : 2x2=8, donc x2=4 et x=2 ou x=−2. Comme y=x, on obtient (2;2) et (−2;−2)2. La première réponse oublie la solution négative ; la troisième oublie de diviser par 2 ; la dernière résout x2=16 au lieu de x2=4.
Le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle et sa réciproque disent que M est sur le cercle de diamètre [AB] exactement quand le triangle AMB est rectangle en M2. Cela se traduit par un produit scalaire nul : MA⋅MB=0. La condition MA=MB décrit la médiatrice de [AB], pas le cercle ; la dernière condition correspond à un angle droit en A.
Avec a=b=0, la formule devient x2+y2=r2=92. L'équation x2+y2=3 oublie le carré du rayon ; x+y=3 est une droite ; x2+y2=6 double le rayon au lieu de l'élever au carré.
Tous les points du cercle sont à la même distance r du centre. Les écarts x−a et y−b sont les côtés de l'angle droit d'un triangle dont CM=r est l'hypoténuse, d'où (x−a)2+(y−b)2=r22. Attention : c'est la distance CM qui vaut r, pas r2 ; c'est son carré qui apparaît dans l'équation.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une équation du second degré en $x$ et $y$ est celle d'un cercle ?
Il faut qu'il y ait les termes x2 et y2 avec le même coefficient, sans terme en xy. Tu divises si besoin pour avoir x2+y2+…, puis tu complètes les carrés. Tu obtiens (x−a)2+(y−b)2=k. Si k>0, c'est un cercle de rayon k ; si k=0, c'est un point ; si k<0, aucun point 1.
Pourquoi le repère doit-il être orthonormé ?
L'équation vient du théorème de Pythagore appliqué aux écarts x−a et y−b2. Cela suppose que les axes sont perpendiculaires et que l'unité de longueur est la même sur les deux axes. Dans un autre repère, la formule de distance change et l'équation n'a plus cette forme.
Comment trouver l'intersection d'un cercle et d'une droite ?
Tu écris le système formé de l'équation du cercle et de celle de la droite, puis tu exprimes une variable avec l'autre pour te ramener à une équation du second degré 2. Le signe du discriminant te dit s'il y a deux points, un point (droite tangente) ou aucun.