Équation de cercle : cours de Première spécialité maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r a pour équation (x−a)2+(y−b)2=r2 : un point M(x;y) est sur le cercle exactement quand ΩM=r.
Pour reconnaître un cercle dans une équation développée x2+y2+αx+βy+γ=0, on regroupe les termes en x et en y et on met chacun sous forme canonique ; le cercle existe si le second membre obtenu est strictement positif.
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que MA⋅MB=0, ce qui donne (x−xA)(x−xB)+(y−yA)(y−yB)=0.
Pour savoir si un point est sur le cercle, on remplace ses coordonnées dans l'équation. Pour l'intersection avec une droite, on remplace y (ou x) dans l'équation du cercle et on résout une équation du second degré.
Du cercle à ses coordonnées : de quoi parle-t-on ?
Tu connais le cercle depuis l'école primaire : on le trace au compas. En Première, on change de point de vue. On place le cercle dans un repère et on cherche une équation que vérifient les coordonnées de tous ses points, et d'eux seuls. Cette méthode, dite des coordonnées, permet de remplacer un dessin par un calcul : décider si un point est sur le cercle, trouver où une droite le coupe, reconnaître un cercle caché dans une équation.1
Tu auras besoin de trois outils déjà rencontrés dans ce chapitre : la distance entre deux points en repère orthonormé, le produit scalaire (en particulier sa nullité pour deux vecteurs orthogonaux) et la résolution d'une équation du second degré.
Un point du cercle et le triangle rectangle de Pythagore · Pour M(3 ; 4) et le centre C(0 ; 0) : 3² + 4² = 5², donc M est sur le cercle d'équation x² + y² = 25.
L'équation d'un cercle de centre et de rayon donnés
Fixons un repère orthonormé (O;,). Soit Ω(a;b) un point et r un réel strictement positif. Un point M(x;y) appartient au cercle de centre Ω et de rayon r si et seulement si ΩM=r. Il reste à traduire cette égalité avec les coordonnées.
Démonstration · Pourquoi cette équation ?
Dans un repère orthonormé, la distance entre Ω(a;b) et M(x;y) vérifie
ΩM2=(x−a)2+(y−b)2.
Cette formule vient du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par le point M et ses projections sur les deux droites parallèles aux axes passant par le centre.2 Les côtés de l'angle droit mesurent ∣x−a∣ et ∣y−b∣.
Or M est sur le cercle si et seulement si ΩM=r. Comme ΩM et r sont des nombres positifs, cela équivaut à ΩM2=r2, donc à (x−a)2+(y−b)2=r2. □
Écrire l'équation d'un cercle : deux situations types
Dans les exercices, on te donne rarement directement le centre et le rayon. Deux situations reviennent sans cesse : le centre est connu et le cercle passe par un point, ou bien on connaît les extrémités d'un diamètre. Dans les deux cas, l'objectif est le même : trouver a, b et r2.1
Reconnaître une équation de cercle
Le programme demande aussi de reconnaître une équation de cercle et d'en déterminer le centre et le rayon.1 On te donne alors une équation sous forme développée, comme x2+y2−6x+4y−12=0, et tu dois décider s'il s'agit d'un cercle. Le travail repose sur la forme canonique d'un polynôme du second degré, que tu connais déjà : choisir la forme la mieux adaptée (développée, canonique, factorisée) est une compétence du chapitre.1
Le cercle de diamètre [AB] avec le produit scalaire
Il existe une autre façon d'obtenir l'équation du cercle de diamètre [AB]. Elle s'appuie sur le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle et sur sa réciproque : un point M distinct de A et de B est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M.2 Ici, c'est ton cours sur le produit scalaire qui traduit l'angle droit.
Démonstration · Justification
Le produit scalaire de MA(xA−xyA−y) et MB(xB−xyB−y) vaut, en repère orthonormé, (xA−x)(xB−x)+(yA−y)(yB−y).
Ce produit est nul exactement quand les vecteurs sont orthogonaux, ou quand l'un d'eux est nul. Le premier cas correspond à un angle droit en M, donc à un point du cercle d'après la réciproque du théorème rappelé plus haut ; le second correspond à M=A ou M=B, qui sont aussi sur le cercle. □
Position d'un point et intersection avec une droite
Une fois l'équation connue, le cercle devient un outil de calcul. Le programme mentionne explicitement la détermination de l'intersection d'un cercle avec une droite ou une parabole.1 Nous traitons ici le cas de la droite, qui se ramène à une équation du second degré.2
Récapitulatif et erreurs à éviter
CoefficientsLes termes en x² et y² ont le même coefficient
CarrésForme canonique en x puis en y
Second membreOn obtient (x−a)² + (y−b)² = k
Conclusionk > 0 : cercle de rayon √k ; sinon pas de cercle
Reconnaître un cercle dans une équation développée · La méthode de reconnaissance en quatre étapes.
Exercices corrigés
Exercice 1 Équation d'un cercle défini par son centre et un point
★☆☆Environ 8 min
Dans un repère orthonormé, on considère le point Ω(1;2) et le point A(4;6).
Calcule le rayon du cercle C de centre Ω passant par A.
Écris une équation de C.
Le point B(−2;6) appartient-il à C ?
Indice 1
Le rayon est la distance ΩA.
Indice 2
Pour tester B, remplace ses coordonnées dans l'équation.
Voir la correction pas à pas
On calcule ΩA2=(4−1)2+(6−2)2=9+16=25, donc r=5.
L'équation est (x−1)2+(y−2)2=25.
Pour B(−2;6) : (−2−1)2+(6−2)2=9+16=25. L'égalité est vraie, donc B appartient à C.
Le cercle a pour rayon 5 et pour équation (x−1)2+(y−2)2=25 ; le point B est sur ce cercle.
Exercice 2 Reconnaître un cercle sous forme développée
★★☆Environ 10 min
Dans un repère orthonormé, on considère l'ensemble E des points M(x;y) tels que
x2+y2−8x+6y+9=0.
Mets l'équation sous la forme (x−a)2+(y−b)2=k.
Justifie que E est un cercle et donne son centre.
Donne son rayon.
Indice 1
Écris x2−8x=(x−4)2−16.
Indice 2
Pense à faire passer les constantes de l'autre côté du signe égal.
Voir la correction pas à pas
On écrit x2−8x=(x−4)2−16 et y2+6y=(y+3)2−9.
L'équation devient (x−4)2−16+(y+3)2−9+9=0, soit (x−4)2+(y+3)2=16.
Le second membre 16 est strictement positif : E est le cercle de centre (4;−3).
Son rayon est 16=4.
E est le cercle de centre (4;−3) et de rayon 4.
Exercice 3 Cercle de diamètre donné
★★☆Environ 10 min
Dans un repère orthonormé, on donne A(1;2) et B(5;6).
Écris l'équation du cercle Γ de diamètre [AB] à l'aide du produit scalaire.
Détermine le centre de Γ.
Calcule r2, le carré du rayon de Γ.
Indice 1
Utilise MA⋅MB=0.
Indice 2
Le centre est le milieu de [AB] et le rayon est la moitié de AB.
Voir la correction pas à pas
Un point M(x;y) est sur Γ si (x−1)(x−5)+(y−2)(y−6)=0.
En développant : x2−6x+5+y2−8y+12=0, soit x2+y2−6x−8y+17=0.
Le centre est le milieu de [AB] : (21+5;22+6)=(3;4).
On a AB2=42+42=32, donc r2=4AB2=8 (on vérifie : 436+64−17=8).
Le cercle Γ a pour centre (3;4) et pour équation (x−3)2+(y−4)2=8, donc r2=8 et r=22.
Exercice 4 Intersection d'un cercle et d'une droite horizontale
★★★Environ 12 min
Dans un repère orthonormé, le cercle C a pour équation (x−1)2+(y+2)2=25 et la droite d a pour équation y=1.
Écris l'équation à laquelle doit satisfaire l'abscisse d'un point commun à C et à d.
Résous cette équation.
Donne les coordonnées des points d'intersection et indique l'abscisse du point situé le plus à droite.
Indice 1
Remplace y par 1 dans l'équation du cercle.
Indice 2
Tu obtiens une équation de la forme (x−1)2=un nombre.
Voir la correction pas à pas
On remplace y=1 : (x−1)2+(1+2)2=25, soit (x−1)2+9=25.
Donc (x−1)2=16, ce qui donne x−1=4 ou x−1=−4.
Les solutions sont x=5 et x=−3.
Les points d'intersection sont (5;1) et (−3;1) ; le plus à droite a pour abscisse 5.
La droite d coupe le cercle en deux points, (−3;1) et (5;1).
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le centre (2;−3) donne (x−2)2 et (y−(−3))2=(y+3)2, et le second membre est r2=16. La deuxième proposition inverse les signes du centre. La troisième oublie d'élever le rayon au carré. La quatrième garde y−3, ce qui correspond à une ordonnée de centre égale à 3.
On écrit x+1=x−(−1) et y−5 reste tel quel : le centre est (−1;5). L'erreur tentante (1;−5) consiste à recopier les signes de la parenthèse, alors que le centre a les signes opposés.
C'est faux : le premier membre est une somme de carrés, donc positif ou nul, et ne peut pas valoir −4. Aucun point ne vérifie l'équation. Le second membre d'une équation de cercle doit être strictement positif, car il vaut r2.
On écrit (x−1)2−1+(y−2)2−4−4=0, soit (x−1)2+(y−2)2=9. Le rayon est 9=3. La réponse 9 vient d'une confusion entre r et r2 ; la réponse 4 ou 2 s'obtient en oubliant de rajouter les constantes 1 et 4.
Il faut x2+y2=25. Pour (3;−4) : 9+16=25. Pour (3;3), on trouve 18 ; pour (4;4), 32 ; pour (5;5), 50. Le signe négatif de l'ordonnée ne gêne pas, car on élève au carré.
La première est le cercle de centre O et de rayon 3. La troisième s'écrit (x−1)2+y2=1 : cercle de centre (1;0) et de rayon 1. La deuxième donne x2+y2=−4, impossible. La quatrième a des coefficients opposés devant x2 et y2 : ce n'est pas un cercle.
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des M tels que MA⋅MB=0, soit (xA−x)(xB−x)+(yA−y)(yB−y)=0, ici x(x−4)+y(y−2)=0. La deuxième proposition se trompe de signe sur B ; la troisième est le cercle de rayon nul centré en B ; la quatrième soustrait les deux termes, ce qui ne traduit pas un produit scalaire.
On remplace y=4 : x2+16=25, donc x2=9 et x=3 ou x=−3. L'abscisse positive est 3. Répondre 25=5 revient à oublier de retirer y2=16.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le second membre est-il $r^2$ et non $r$ ?
Parce que l'équation vient du carré de la distance. Dans un repère orthonormé, ΩM2=(x−a)2+(y−b)2, formule issue du théorème de Pythagore.2 Dire ΩM=r revient donc à dire ΩM2=r2. Garder les carrés évite aussi de manipuler des racines carrées.
Comment savoir si une équation du type $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ est celle d'un cercle ?
Mets-la sous forme canonique en x et en y pour obtenir (x−a)2+(y−b)2=k. Si k>0, c'est un cercle de rayon k ; si k=0, un seul point ; si k<0, aucun point. Cette démarche est celle que demande le programme quand il parle de reconnaître une équation de cercle.1
L'équation du cercle est-elle encore vraie si le repère n'est pas orthonormé ?
Non. L'équation (x−a)2+(y−b)2=r2 est établie dans un plan muni d'un repère orthonormé.2 Dans un autre repère, la distance entre deux points ne s'exprime plus de cette façon et la courbe obtenue ne correspond plus à un cercle tracé à la règle et au compas.
Quand utilise-t-on cette notion à l'examen ?
Elle intervient dans des problèmes de géométrie analytique : donner l'équation d'un cercle, reconnaître un cercle, vérifier qu'un point lui appartient, chercher ses points communs avec une droite. Ces questions mêlent produit scalaire et équations du second degré, deux thèmes que le programme relie à des problèmes d'origine géométrique.1 Entraîne-toi à passer de la forme développée à la forme canonique sans hésiter.
Que faire quand la droite ne coupe le cercle qu'en un seul point ?
Après substitution, tu obtiens une équation du second degré dont le discriminant est nul : elle a une seule solution, donc un seul point commun.2 Pour un cercle et une droite, ce cas est celui où la droite est tangente au cercle.