Équation de cercle : exercices corrigés de Première

On applique la formule avec $a=2$, $b=-3$ et $r=5$ : $(x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2$.

On simplifie le double signe : $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.

On calcule les écarts de coordonnées entre $A$ et $\Omega$ : $5-2=3$ et $1-(-3)=4$.

On calcule $\Omega A^2=3^2+4^2=9+16=25$.

On compare : $\Omega A^2=25=r^2$, donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation : $A$ appartient à $\mathcal{C}$.

On réécrit l'équation : $(x-(-1))^2+(y-4)^2=7^2$.

On identifie avec $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ : $a=-1$, $b=4$ et $r^2=49$ avec $r>0$.

Donc $\mathcal{E}$ est le cercle de centre $\Omega(-1\,;\,4)$ et de rayon $7$.

Pour l'origine, on remplace : $(0+1)^2+(0-4)^2=1+16=17$.

Comme $17\neq 49$, l'origine n'appartient pas à $\mathcal{E}$ (elle est à l'intérieur, puisque $17<49$).

On regroupe : $(x^2-6x)+(y^2+4y)=12$.

On complète le carré en $x$ : $x^2-6x=(x-3)^2-9$.

On complète le carré en $y$ : $y^2+4y=(y+2)^2-4$.

On remplace : $(x-3)^2-9+(y+2)^2-4=12$, soit $(x-3)^2+(y+2)^2=25$.

Le second membre est strictement positif : c'est le cercle de centre $\Omega(3\,;\,-2)$ et de rayon $5$.

Pour $B$ : $(3-3)^2+(3+2)^2=0+25=25$, donc $B$ appartient au cercle.

Le centre est le milieu de $[AB]$ : $I\left(\dfrac{1+7}{2}\,;\,\dfrac{2+10}{2}\right)=(4\,;\,6)$.

On calcule $AB=\sqrt{(7-1)^2+(10-2)^2}=\sqrt{36+64}=10$, donc le rayon vaut $\dfrac{10}{2}=5$.

L'équation est $(x-4)^2+(y-6)^2=25$.

Autre méthode : $M$ est sur le cercle si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$, avec $\overrightarrow{MA}(1-x\,;\,2-y)$ et $\overrightarrow{MB}(7-x\,;\,10-y)$.

On calcule : $(1-x)(7-x)+(2-y)(10-y)=0$, soit $x^2-8x+7+y^2-12y+20=0$, donc $x^2+y^2-8x-12y+27=0$.

On passe en forme canonique : $(x-4)^2-16+(y-6)^2-36+27=0$, soit $(x-4)^2+(y-6)^2=25$. Les deux méthodes concordent.

L'équation de $\mathcal{C}$ est $x^2+y^2=25$.

Un point commun vérifie à la fois $x^2+y^2=25$ et $y=x+1$ : on remplace, $x^2+(x+1)^2=25$.

On développe : $2x^2+2x+1=25$, soit $2x^2+2x-24=0$, puis $x^2+x-12=0$.

Le discriminant vaut $\Delta=1+48=49$, donc $x=\dfrac{-1-7}{2}=-4$ ou $x=\dfrac{-1+7}{2}=3$.

On calcule les ordonnées avec $y=x+1$ : pour $x=3$, $y=4$ ; pour $x=-4$, $y=-3$.

Vérification : $3^2+4^2=25$ et $(-4)^2+(-3)^2=25$.

On regroupe : $(x^2-2x)+(y^2+6y)=-20$.

On complète : $x^2-2x=(x-1)^2-1$ et $y^2+6y=(y+3)^2-9$.

On obtient $(x-1)^2+(y+3)^2=-20+1+9=-10$.

Le membre de gauche est une somme de deux carrés, donc il est positif ou nul, alors que le membre de droite vaut $-10$.

Aucun point $M$ ne peut vérifier l'équation.

Pour $M(x\,;\,y)$ : $\overrightarrow{MB}(4-x\,;\,-y)$ et $\overrightarrow{MC}(-x\,;\,2-y)$.

Le produit scalaire s'annule : $(4-x)(-x)+(-y)(2-y)=0$, soit $-4x+x^2-2y+y^2=0$.

L'équation de $\Gamma$ est donc $x^2+y^2-4x-2y=0$.

Pour $A(0\,;\,0)$ : $0+0-0-0=0$, donc $A\in\Gamma$.

Cohérence : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,0)$ et $\overrightarrow{AC}(0\,;\,2)$ ont un produit scalaire nul, donc le triangle est rectangle en $A$, et $[BC]$ est son hypoténuse, donc un diamètre du cercle passant par $A$.

Forme canonique : $(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0$, soit $(x-2)^2+(y-1)^2=5$.

Le centre est $\Omega(2\,;\,1)$, milieu de $[BC]$, et $r^2=2^2+1^2=5$, donc $r=\sqrt{5}$.

On calcule $\overrightarrow{\Omega A}(4-1\,;\,6-2)=(3\,;\,4)$.

Le rayon vaut $\Omega A=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et l'équation de $\mathcal{C}$ est $(x-1)^2+(y-2)^2=25$.

$T$ est perpendiculaire à $(\Omega A)$, donc $\overrightarrow{\Omega A}(3\,;\,4)$ en est un vecteur normal.

Une équation de $T$ est donc $3x+4y+c=0$.

$A(4\,;\,6)$ est sur $T$ : $3\times4+4\times6+c=0$, soit $36+c=0$, donc $c=-36$.

Équation de $T$ : $3x+4y-36=0$.

Contrôle : pour $M(x\,;\,y)$ de $T$, $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=3(x-4)+4(y-6)=3x+4y-36$, ce qui redonne la même équation.

Un point commun vérifie $x^2+y^2=6$ et $y=x^2$. On remplace $x^2$ par $y$ dans la première : $y+y^2=6$.

On obtient $y^2+y-6=0$.

Le discriminant vaut $\Delta=1+24=25$, donc $y=\dfrac{-1-5}{2}=-3$ ou $y=\dfrac{-1+5}{2}=2$.

Comme $y=x^2\geq0$, la solution $y=-3$ est impossible : on garde $y=2$.

Pour $y=2$, $x^2=2$, donc $x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$.

Vérification : $(\pm\sqrt{2})^2+2^2=2+4=6$.