Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Probabilités conditionnelles : cours de Première spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , mesure la chance de $B$ quand on sait que $A$ est réalisé ; elle n'existe que si $P(A)>0$ .
Formule de définition : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ; en équiprobabilité, $P_A(B)=\dfrac{\text{card}(A\cap B)}{\text{card}(A)}$ .
Règle du produit : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ ; $P_A$ est une loi de probabilité, donc $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)$ .
Dans un arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui mènent au même événement.
Formule des probabilités totales : si $A_1,\dots,A_n$ forment une partition, $P(B)=\sum P(A_i)\times P_{A_i}(B)$ . Attention : $P_A(B)\neq P_B(A)$ en général.

Pourquoi une information change une probabilité

Une probabilité mesure la chance qu'un événement se réalise, à partir de ce que l'on sait. Quand tu apprends une information nouvelle, ce que tu sais change, et la probabilité peut changer avec elle. C'est exactement ce que décrivent les probabilités conditionnelles : la probabilité d'un événement sachant qu'un autre a eu lieu.³

Prends un jeu de cartes. Si tu tires une carte au hasard, un cœur sort une fois sur quatre. Mais si un reflet rouge sur la table te révèle que la carte est rouge, un cœur sort désormais une fois sur deux.³ La carte n'a pas changé : c'est ton information qui a réduit les cas possibles. Les cartes noires sont écartées, il ne reste que les rouges, et la moitié d'entre elles sont des cœurs.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à :

définir et noter une probabilité conditionnelle ;
la calculer, d'abord par dénombrement, puis avec une formule ;
utiliser la règle du produit pour calculer une probabilité d'intersection ;
lire et construire un arbre pondéré ;
décomposer une probabilité avec la formule des probabilités totales.

Tout au long du cours, on se place dans le cadre habituel : une expérience aléatoire, un univers $\Omega$ et une loi de probabilité $P$ sur cet univers.¹

P sachant A

Définition
- P(A∩B)/P(A)
- P(A) > 0
- Loi de probabilité
Règle du produit
- P(A∩B)
- P(A) × PA(B)
Arbre pondéré
- Produit : chemin
- Somme : chemins
Probabilités totales
- Partition
- Somme des produits

Les probabilités conditionnelles en un coup d'œil · Les notions du chapitre et leurs liens.

Définition de la probabilité conditionnelle

Pourquoi cette formule ? Imagine qu'on te dise que $A$ est réalisé. Les issues qui comptent désormais sont celles de $A$ : c'est ton nouvel univers. Parmi elles, celles qui réalisent aussi $B$ sont les issues de $A\cap B$ . La « part » de $B$ dans $A$ est donc le rapport entre la probabilité de $A\cap B$ et celle de $A$ . On divise par $P(A)$ pour que l'événement $A$ lui-même, dans son nouvel univers, ait une probabilité égale à 1.

Calculer par dénombrement en situation d'équiprobabilité

Une nouvelle loi de probabilité

La règle du produit

Démonstration · Démonstration

On part de la définition $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ avec $P(A)>0$ . On multiplie les deux membres par $P(A)$ : on obtient $P(A)\times P_A(B)=P(A\cap B)$ . Pour la seconde écriture, on échange les rôles de $A$ et de $B$ , ce qui est possible dès que $P(B)>0$ .

Cette règle se lit très naturellement : pour que $A$ et $B$ se réalisent, il faut d'abord que $A$ se réalise (probabilité $P(A)$ ), puis que $B$ se réalise dans la situation où $A$ l'est déjà (probabilité $P_A(B)$ ). Elle sert surtout à calculer une intersection quand on connaît une probabilité conditionnelle, ce qui arrive dans presque tous les problèmes à arbre.

Les arbres pondérés

Un arbre pondéré schématise une expérience menée en plusieurs étapes. Les branches de départ portent les probabilités des premiers événements ; celles qui suivent portent des probabilités conditionnelles.¹ Chaque chemin, c'est-à-dire chaque suite de branches, correspond à une intersection d'événements.

Niveau 1Écrire P(A) et P(non A) sur les premières branches
Niveau 2Écrire les probabilités conditionnelles sur les suivantes
CheminsMultiplier les nombres le long de chaque chemin
SommeAdditionner les chemins qui mènent à l'événement

Lire un arbre pondéré · Comment calculer une probabilité avec un arbre.

ExempleUn arbre complet

Un site propose un test de niveau. 60 % des visiteurs sont des lycéens ( $L$ ) et 40 % sont des adultes ( $\overline{L}$ ). Parmi les lycéens, 80 % terminent le test ( $T$ ). Parmi les adultes, 50 % le terminent.

On place sur l'arbre : $P(L)=0{,}6$ , $P(\overline{L})=0{,}4$ , $P_L(T)=0{,}8$ , donc $P_L(\overline{T})=0{,}2$ , puis $P_{\overline{L}}(T)=0{,}5$ et $P_{\overline{L}}(\overline{T})=0{,}5$ .

Le chemin « lycéen qui termine » a pour probabilité $0{,}6\times 0{,}8=0{,}48$ . Le chemin « adulte qui termine » a pour probabilité $0{,}4\times 0{,}5=0{,}2$ . L'événement $T$ est atteint par ces deux chemins, donc

$P(T)=0{,}48+0{,}2=0{,}68.$

Partition de l'univers et probabilités totales

Démonstration · Démonstration (cas d'une partition en deux événements)

Les événements $A\cap B$ et $\overline{A}\cap B$ sont incompatibles et leur réunion est $B$ . Donc $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$ . On applique ensuite la règle du produit à chacun des deux termes : $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$ . Le cas général se traite de la même façon avec $n$ termes.

Méthode de résolution et pièges à éviter

NommerDéfinir les événements par des phrases
TraduireRepérer les « parmi » et « sachant que »
DessinerFaire un arbre ou un tableau
CalculerProduit, somme ou formule de définition
ConclureRépondre par une phrase

Démarche de résolution · De l'énoncé à la conclusion.

Exercices corrigés

Exercice 1 Lire un tableau à double entrée

★☆☆Environ 8 min

Dans un lycée, on interroge 200 élèves : 120 filles et 80 garçons. Parmi eux, 48 filles et 20 garçons pratiquent un sport en club. On choisit un élève au hasard (tous les élèves ont la même probabilité d'être choisis). Soit $F$ : « l'élève est une fille » et $S$ : « l'élève pratique un sport en club ».

Calculer $P_S(F)$ , la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il pratique un sport en club. Donner la valeur décimale arrondie à $10^{-4}$ .

Indice 1

Quel est l'événement après « sachant » ? C'est lui qui définit le dénominateur.

Indice 2

Combien d'élèves pratiquent un sport en club au total ?

Voir la correction pas à pas

On repère l'événement conditionnant : $S$ . Il contient $48+20=68$ élèves.
Parmi eux, ceux qui sont des filles sont les 48 de $F\cap S$ .
Les élèves sont équiprobables, donc $P_S(F)=\dfrac{\text{card}(F\cap S)}{\text{card}(S)}=\dfrac{48}{68}$ .
On simplifie : $\dfrac{48}{68}=\dfrac{12}{17}\approx 0{,}7059$ .

Sachant qu'un élève pratique un sport en club, il y a environ 70,6 % de chances que ce soit une fille. Remarque que $P(F)=\frac{120}{200}=0{,}6$ : l'information a bien modifié la probabilité.

Exercice 2 Défauts dans une usine

★★☆Environ 12 min

Une usine possède deux machines. La machine A produit 60 % des pièces et la machine B produit les 40 % restants. Parmi les pièces de la machine A, 2 % sont défectueuses ; parmi celles de la machine B, 5 % le sont. On prend une pièce au hasard et on note $D$ : « la pièce est défectueuse ».

Calculer $P(D)$ .

Indice 1

Dessine un arbre : les machines A et B forment une partition.

Indice 2

Calcule séparément $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$ avec la règle du produit.

Voir la correction pas à pas

Les événements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, avec $P(A)=0{,}6$ et $P(B)=0{,}4$ .
Les données « parmi les pièces de A, 2 % ... » sont des probabilités conditionnelles : $P_A(D)=0{,}02$ et $P_B(D)=0{,}05$ .
Règle du produit : $P(A\cap D)=0{,}6\times 0{,}02=0{,}012$ et $P(B\cap D)=0{,}4\times 0{,}05=0{,}02$ .
Formule des probabilités totales : $P(D)=0{,}012+0{,}02=0{,}032$ .

Une pièce prise au hasard est défectueuse avec une probabilité de $0{,}032$ , soit 3,2 %. Ce taux est compris entre 2 % et 5 %, ce qui est cohérent : c'est une moyenne pondérée des deux taux de défaut.

Exercice 3 Comparer P_A(B) et P_B(A)

★★★Environ 12 min

Soit $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ .

Calculer $P_A(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ et comparer.
Calculer $P_A(\overline{B})$ .

On donne comme réponse numérique la valeur de $P_B(A)$ .

Indice 1

Les deux probabilités ont le même numérateur mais pas le même dénominateur.

Indice 2

Pour la question 3, utilise la propriété du contraire pour la loi $P_A$ .

Voir la correction pas à pas

Les deux événements conditionnants ont une probabilité non nulle, donc les deux probabilités conditionnelles existent.
Question 1 : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4$ .
Question 2 : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5$ . On a $P_A(B)=0{,}4$ et $P_B(A)=0{,}5$ : les deux valeurs sont différentes.
Question 3 : $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)=1-0{,}4=0{,}6$ .

Les deux probabilités conditionnelles sont différentes parce que les événements conditionnants n'ont pas la même probabilité. Lorsque $P(A\cap B)>0$ , elles ne sont égales que si $P(A)=P(B)$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une donnée de l'énoncé est une probabilité conditionnelle ?

Cherche les mots « parmi », « sachant que », « dans le cas où », « pour ceux qui ». Ils introduisent une population restreinte : le pourcentage donné porte alors sur cette sous-population et c'est une probabilité conditionnelle $P_A(\cdot)$ . Un pourcentage qui porte sur tout le monde, comme « 40 % des élèves sont des filles qui ... », est une probabilité d'intersection.

Quelle est la différence entre P(A ∩ B) et P_A(B) ?

$P(A\cap B)$ est la chance que $A$ et $B$ se réalisent ensemble, mesurée sur l'ensemble de la population. $P_A(B)$ est la chance de $B$ dans la population où $A$ est réalisé. Les deux sont reliées par $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ : l'intersection est toujours plus petite ou égale à $P_A(B)$ , puisque $P(A)\le 1$ .

À quoi servent les probabilités conditionnelles dans la vie courante ?

Elles servent chaque fois qu'on met à jour une estimation grâce à une information : lire un test médical, évaluer un risque, prévoir une suite d'événements. Elles sont aussi au cœur de modèles plus avancés, comme les marches aléatoires dont le futur ne dépend que du présent.⁴ En Première, tu en vois les bases, qui servent ensuite pour l'indépendance et les variables aléatoires.

Un arbre est-il obligatoire pour résoudre un exercice ?

Non, mais il est vivement conseillé dès que l'expérience se déroule en plusieurs étapes. Il évite d'oublier un cas et rend visibles les règles du produit et de la somme.¹ Si l'énoncé donne des effectifs, un tableau à double entrée peut être plus rapide.

Que faire si l'énoncé me donne P_B(A) alors que je cherche P_A(B) ?

Passe par l'intersection. Avec la règle du produit, $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$ . Il suffit ensuite de diviser par $P(A)$ : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ . Si $P(A)$ n'est pas donné, on le calcule avec la formule des probabilités totales.

Sources

Cours — Chapitre 2 Probabilités conditionnelles (CNRS), CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiche de révision — Probabilités conditionnelles (CNRS), CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Probabilité conditionnelle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorie des probabilités, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Probabilités conditionnelles : cours de Première spécialité

L'essentiel

Pourquoi une information change une probabilité

Définition de la probabilité conditionnelle

Calculer par dénombrement en situation d'équiprobabilité

Une nouvelle loi de probabilité

La règle du produit

Les arbres pondérés

Partition de l'univers et probabilités totales

Méthode de résolution et pièges à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Lire un tableau à double entrée

Exercice 2 Défauts dans une usine

Exercice 3 Comparer P_A(B) et P_B(A)

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