Probabilités conditionnelles : fiche de révision de 1re
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La probabilité de B sachant A, notée PA(B), mesure la chance de B quand on sait que A est réalisé ; elle n'existe que si P(A)>0.
Formule : PA(B)=P(A)P(A∩B), donc P(A∩B)=P(A)×PA(B).
Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne les chemins qui mènent au même événement.
PA est une vraie loi de probabilité : PA(B)=1−PA(B), et en général PA(B)=PB(A).
Ce qu'il faut retenir sur la définition
Une probabilité conditionnelle répond à une question simple : comment change la chance d'un événement quand on reçoit une information supplémentaire ? Tu travailles dans une expérience aléatoire d'univers Ω, munie d'une loi de probabilité P1.
Les formules à connaître
Utiliser un arbre pondéré
Un arbre pondéré représente une expérience en deux étapes. Sur les branches du premier niveau, tu inscris les probabilités ordinaires. Sur celles du second niveau, tu inscris les probabilités conditionnelles 1.
Pièges et réflexes de contrôle
Questions flash
5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
PA(B) est la probabilité de B quand on sait que A est réalisé. La réponse « A et B » décrit P(A∩B), qui ne suppose pas A déjà réalisé. La réponse « A sachant B » inverse les rôles, ce qui est l'erreur la plus courante.
On applique PA(B)=P(A)P(A∩B)=0,50,2=0,4. Diviser par P(B) au lieu de P(A) donnerait PB(A), qui est une autre quantité.
Le long d'un chemin, on multiplie : 0,6×0,5=0,3. Additionner donne 1,1, un résultat impossible pour une probabilité. Les deux autres valeurs ne correspondent à aucune opération sur ces données.
C'est faux en général : les dénominateurs sont P(A) et P(B), qui diffèrent. Avec un dé, la probabilité d'avoir 6 sachant « pair » vaut 31, alors que celle d'avoir « pair » sachant 6 vaut 1.
PA est une loi de probabilité, donc PA(B)=1−PA(B)=0,65. Écrire 1−P(B) serait faux : l'événement contraire se calcule avec la même condition « sachant A ».
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quel événement placer après « sachant » ?
L'événement placé après « sachant » est celui qu'on connaît déjà : il sert de nouvel univers et son nom apparaît en indice, dans PA(B). Repère dans l'énoncé les mots « parmi », « sachant que », « si on sait que » : ce qui suit désigne l'événement conditionnant, et sa probabilité sera le dénominateur.
Pourquoi multiplie-t-on dans un arbre pondéré ?
Parce que la formule du produit s'écrit P(A∩B)=P(A)×PA(B) : un chemin de l'arbre correspond à une intersection, et sa probabilité est le produit des probabilités de ses branches 1. On additionne seulement quand plusieurs chemins mènent au même événement.
Une probabilité conditionnelle peut-elle être supérieure à la probabilité de départ ?
Oui, et c'est fréquent. Avec les cartes, la probabilité d'obtenir un cœur passe d'une sur quatre à une sur deux quand on sait que la carte est rouge 3. Une information peut augmenter ou diminuer la chance d'un événement, mais le résultat reste toujours compris entre 0 et 1.