La forme canonique d'un trinôme : cours de Première
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un trinôme ax2+bx+c (avec a=0) peut s'écrire a(x−α)2+β : c'est sa forme canonique12.
On l'obtient par la complétion du carré2, ou directement avec α=−2ab et β=f(α).
La parabole a pour sommetS(α;β) et pour axe de symétrie la droite x=α.
Si a>0, β est le minimum ; si a<0, c'est le maximum.
Pour résoudre une équation, la forme canonique ramène le problème à « un carré égal à un nombre ».
Pourquoi une troisième écriture du trinôme ?
Tu connais déjà les fonctions polynômes du second degré, celles de la forme f(x)=ax2+bx+c avec a=0. Leur courbe est une parabole. Pourtant, quand on te donne l'expression développée, il est difficile de répondre à des questions simples : où se trouve le point le plus haut ou le plus bas de la courbe ? pour quelles valeurs de x la fonction s'annule-t-elle ? Le programme de Première demande justement de savoir qu'une telle fonction admet une forme canonique, et de choisir la forme la plus adaptée au problème posé : développée réduite, canonique ou factorisée 1.
Ce cours est consacré à la deuxième de ces écritures. Il te montre d'où elle vient, comment la calculer à la main, ce qu'elle t'apprend sur la parabole et comment elle sert à résoudre des équations. Elle prépare directement les chapitres suivants : discriminant et racines, factorisation et signe d'un trinôme, inéquations du second degré.
Définition de la forme canonique
Observe bien la structure : dans a(x−α)2+β, la lettre x n'apparaît qu'une seule fois, à l'intérieur du carré. C'est ce qui rend l'écriture si pratique. Dans la forme développée, x apparaît deux fois (dans x2 et dans x), et il est impossible de « voir » directement ce que fait la fonction.
Trouver la forme canonique : la complétion du carré
La méthode qui permet de mettre un trinôme du second degré sous forme canonique s'appelle la complétion du carré2. Elle repose sur une identité remarquable que tu connais depuis le collège :
(x+p)2=x2+2px+p2
L'idée est de reconnaître le début d'un carré dans x2+2px, puis d'ajouter et de retrancher p2 pour « compléter » le carré sans changer la valeur de l'expression.
Factoriser aSortir a des termes en x² et en x
Repérer 2pLe coefficient de x vaut 2p
Compléterx² + 2px = (x + p)² − p²
RegrouperRedistribuer a puis additionner les constantes
Les étapes de la complétion du carré · La méthode, de gauche à droite
Les formules générales de α et β
Refaire la complétion du carré à chaque fois est sûr, mais on peut aussi appliquer la méthode une fois pour toutes sur les lettres a, b, c. On obtient alors des formules qui donnent α et β directement.
Démonstration · Démonstration
On part de f(x)=ax2+bx+c et on factorise a dans les deux premiers termes :
f(x)=a(x2+abx)+c
Le coefficient de x vaut ab=2×2ab, donc x2+abx=(x+2ab)2−4a2b2. Ainsi :
f(x)=a(x+2ab)2−a×4a2b2+c=a(x+2ab)2+(c−4ab2)
On pose α=−2ab, de sorte que x+2ab=x−α, et β=c−4ab2.
Pour x=α, le carré s'annule et il reste f(α)=β : on a donc bien β=f(α).
Enfin, en mettant sur le même dénominateur : β=4a4ac−b2=−4ab2−4ac=−4aΔ.
Ce que la forme canonique révèle sur la parabole
Le grand intérêt de a(x−α)2+β est qu'elle contient tout ce qu'il faut pour décrire la courbe. Le raisonnement tient en une idée : un carré est toujours supérieur ou égal à 0.
Démonstration · Justification
Comme (x−α)2≥0 pour tout réel x, on multiplie par a.
Si a>0, le sens de l'inégalité est conservé : a(x−α)2≥0, donc f(x)≥β.
Si a<0, le sens est inversé : a(x−α)2≤0, donc f(x)≤β.
Dans les deux cas, l'égalité f(x)=β a lieu exactement quand (x−α)2=0, c'est-à-dire pour x=α.
Pour la symétrie, remarque que (α+h−α)2=h2=(α−h−α)2 : les points d'abscisses α+h et α−h ont la même image.
Parabole de f(x) = (x − 2)² − 1 · Le sommet se lit directement sur la forme canonique.
Utiliser la forme canonique pour résoudre une équation
Résoudre ax2+bx+c=0 est difficile sous la forme développée. Sous la forme canonique, l'inconnue n'apparaît qu'une fois, et on sait isoler un carré. C'est exactement ce raisonnement qui conduit, au chapitre suivant, au discriminant et aux formules des racines 1.
Choisir la bonne forme et éviter les pièges
Le programme attend que tu saches choisir une forme adaptée à la question 1. Voici comment décider rapidement.
Les trois formes d'un trinôme
Forme
Écriture
Ce qu'on y lit
Développée
ax² + bx + c
L'ordonnée à l'origine c
Canonique
a(x − α)² + β
Le sommet (α ; β) et l'extremum
Factorisée
a(x − x₁)(x − x₂)
Les valeurs où f s'annule
Les trois formes d'un trinôme
Exercices corrigés
Exercice 1 Mettre un trinôme sous forme canonique
★☆☆Environ 6 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x2−12x+7.
Calcule α=−2ab.
Calcule β=f(α).
Écris la forme canonique de f et donne les coordonnées du sommet de sa parabole.
Indice 1
Ici a=2 et b=−12.
Indice 2
Pour β, remplace x par la valeur de α dans l'expression de départ.
Voir la correction pas à pas
On identifie les coefficients : a=2, b=−12, c=7.
On calcule α=−2×2−12=412=3.
On calcule β=f(3)=2×9−12×3+7=18−36+7=−11.
On écrit la forme canonique : f(x)=2(x−3)2−11.
On vérifie : 2(x−3)2−11=2x2−12x+18−11=2x2−12x+7. C'est correct.
Le sommet de la parabole est S(3;−11).
La forme canonique est f(x)=2(x−3)2−11 et le sommet est S(3;−11). Comme a=2>0, −11 est le minimum de f.
Exercice 2 Résoudre une équation avec la complétion du carré
★★☆Environ 8 min
Mets x2+6x−7 sous forme canonique.
En déduis les solutions de l'équation x2+6x−7=0.
Donne la plus grande des deux solutions.
Indice 1
Le coefficient de x est 6=2×3.
Indice 2
Une équation de la forme (x+3)2=16 se résout en distinguant deux cas : x+3=4 ou x+3=−4.
Voir la correction pas à pas
Le coefficient de x vaut 6=2×3, donc p=3 et x2+6x=(x+3)2−9.
On obtient x2+6x−7=(x+3)2−9−7=(x+3)2−16.
On vérifie : (x+3)2−16=x2+6x+9−16=x2+6x−7.
L'équation devient (x+3)2−16=0, soit (x+3)2=16.
Donc x+3=4 ou x+3=−4.
On en déduit x=1 ou x=−7.
Les solutions sont −7 et 1 ; la plus grande est 1. On peut le contrôler : 12+6×1−7=0 et (−7)2+6×(−7)−7=49−42−7=0.
Exercice 3 Un maximum dans un problème
★★★Environ 10 min
Un jardinier dispose d'une fonction de rendement R(x)=−3x2+12x−5, où x est la quantité d'engrais, en dizaines de grammes, et R(x) le rendement, en kilogrammes.
Écris R(x) sous forme canonique.
Pour quelle quantité d'engrais le rendement est-il maximal ?
Quel est ce rendement maximal ?
Indice 1
Factorise −3 dans −3x2+12x avant de compléter le carré.
Indice 2
Le maximum est atteint en x=α parce que a<0.
Voir la correction pas à pas
On factorise −3 dans les deux premiers termes : R(x)=−3(x2−4x)−5.
On complète le carré : x2−4x=(x−2)2−4.
On remplace : R(x)=−3[(x−2)2−4]−5.
On distribue −3 : R(x)=−3(x−2)2+12−5=−3(x−2)2+7.
On vérifie : −3(x2−4x+4)+7=−3x2+12x−12+7=−3x2+12x−5.
Comme a=−3<0, R admet un maximum atteint en x=α=2.
Ce maximum vaut β=R(2)=−12+24−5=7.
Le rendement est maximal pour x=2, soit 20 grammes d'engrais, et il vaut 7 kilogrammes. La forme canonique R(x)=−3(x−2)2+7 donne tout de suite l'abscisse et la valeur du maximum.
Exercice 4 Retrouver l'expression à partir du sommet
★★☆Environ 7 min
Une parabole a pour sommet S(1;2) et passe par le point A(3;10). Elle est la courbe d'une fonction f polynôme du second degré.
Écris la forme canonique de f avec un coefficient a inconnu.
Détermine a.
Donne l'expression développée de f.
Indice 1
Le sommet donne directement α et β.
Indice 2
Dis que f(3)=10 et résous l'équation en a.
Voir la correction pas à pas
Le sommet est S(α;β)=S(1;2), donc f(x)=a(x−1)2+2.
Le point A(3;10) est sur la courbe : f(3)=10.
On remplace : a(3−1)2+2=10, soit 4a+2=10.
On résout : 4a=8, donc a=2.
On développe : f(x)=2(x−1)2+2=2x2−4x+2+2=2x2−4x+4.
On trouve a=2 et f(x)=2(x−1)2+2=2x2−4x+4. Contrôle : f(3)=18−12+4=10.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le coefficient de x vaut −10=2×(−5), donc x2−10x=(x−5)2−25 et f(x)=(x−5)2−25+3=(x−5)2−22. La réponse (x+5)2−22 se trompe sur le signe : (x+5)2 donnerait +10x. La réponse (x−5)2+3 oublie de retrancher 25 lors de la complétion du carré.
On écrit x+3=x−(−3), donc α=−3 et β=8 : le sommet est S(−3;8). L'erreur tentante (3;8) lit α sans tenir compte du signe moins de la formule x−α. Quant à (8;−3), il inverse l'abscisse et l'ordonnée.
C'est faux. Pour a<0, le terme a(x−α)2 est négatif ou nul, donc f(x)≤β : β est un maximum. On confond souvent avec le cas a>0, où β est bien un minimum.
On calcule α=−2−6=3, puis β=f(3)=9−18+5=−4. Par complétion du carré : x2−6x+5=(x−3)2−9+5=(x−3)2−4. L'erreur fréquente est de répondre 5 (la constante c) ou −9 (en oubliant d'ajouter c).
On factorise : 2(x2+2x)+5=2[(x+1)2−1]+5=2(x+1)2−2+5=2(x+1)2+3. La réponse 2(x+1)2+1 oublie de multiplier le −1 par 2 en sortant des crochets. Dans 2(x+2)2−3, le 2 est pris pour α au lieu de 1.
L'équation équivaut à (x−1)2=−4. Un carré de réel est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir −4. Il n'y a donc aucune solution. Répondre « deux » vient d'un réflexe qui consiste à écrire x−1=±2, ce qui n'a de sens que pour un carré égal à +4.
L'axe de symétrie est x=α=1, et comme a=3>0 la fonction a un minimum égal à β=−2, atteint en x=1. Le nombre 1 est l'abscisse du minimum, pas sa valeur. La parabole est tournée vers le haut puisque a>0.
Les questions qu'on se pose
À quoi sert la forme canonique ?
Elle donne le sommet de la parabole, l'axe de symétrie, l'extremum de la fonction et ses variations, sans calcul supplémentaire. Elle sert aussi à résoudre les équations du second degré en les ramenant à « un carré égal à un nombre », et elle est la base de la démonstration des formules du discriminant 1.
Faut-il apprendre les formules de α et β par cœur ?
Il est utile de connaître α=−2ab, car elle va vite, puis de calculer β=f(α). Mais le plus sûr reste de comprendre la complétion du carré2 : si tu oublies une formule, tu peux la retrouver en quelques lignes, comme dans la démonstration du cours.
Comment être sûr que ma forme canonique est juste ?
Redéveloppe-la. Si tu retrouves exactement l'expression de départ, c'est correct. Tu peux aussi tester une valeur : pour x=0, la forme canonique doit donner c. Avec f(x)=2(x−3)2−11, on trouve 2×9−11=7, la bonne constante de 2x2−12x+7.
Pourquoi y a-t-il un signe moins devant α dans a(x − α)² + β ?
C'est une convention d'écriture qui rend la lecture directe : la fonction est symétrique autour de x=α et atteint son extremum en cette valeur. Quand tu vois (x+2)2, tu dois donc le réécrire (x−(−2))2 pour lire α=−2.
La forme canonique existe-t-elle toujours ?
Oui, pour tout trinôme ax2+bx+c avec a=0 : la démonstration du cours fonctionne quels que soient a, b et c. Elle est même unique. C'est ce qui justifie l'adjectif « canonique » : toutes les expressions de ce type s'y ramènent 2.
Que faire si les coefficients donnent des fractions ?
Garde-les. Par exemple, x2+3x+1=(x+23)2−45 est une réponse complète. Travailler avec des fractions est normal ici, il suffit de calculer proprement p2 en élevant au carré le numérateur et le dénominateur.