α=−2ab et β=f(α) : le sommet de la parabole est (α;β).
Le signe de a dit si β est un minimum (a>0) ou un maximum (a<0).
Piège n°1 : le signe de α est l'opposé de celui qui apparaît dans la parenthèse.
Avant de commencer
Ce quiz couvre tout ce qu'il faut savoir sur la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré en Première : savoir la reconnaître, la calculer, puis s'en servir. Le programme demande en effet de savoir qu'une telle fonction admet une forme canonique 1, et de choisir, selon le problème, la forme la mieux adaptée : développée réduite, canonique ou factorisée 1.
Prends une feuille, fais les calculs à la main, puis compare avec l'explication. Une mauvaise réponse est utile si tu lis pourquoi l'erreur tentante est fausse.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On écrit x2+6x=(x+3)2−9, donc f(x)=(x+3)2−9+5=(x+3)2−4. La réponse (x+3)2+5 oublie de retrancher le 9 créé en complétant le carré. La réponse (x−3)2−4 se trompe de signe dans la parenthèse. Enfin (x+6)2−31 utilise b au lieu de b/2 : (x+6)2=x2+12x+36, ce qui ne redonne pas f.
On factorise : f(x)=2(x2−4x)+3=2((x−2)2−4)+3=2(x−2)2−8+3=2(x−2)2−5. L'erreur 2(x−2)2+3 oublie de multiplier le −4 par le coefficient 2. L'erreur (x−2)2−5 perd le facteur a=2, ce qui change la fonction. Enfin 2(x+2)2−5 inverse le signe de α : α=−4−8=2.
Ici a=3 et b=−12, donc α=−2×3−12=612=2. L'erreur fréquente est de trouver −2 en oubliant que b est déjà négatif, ou de calculer ab=−4 en oubliant le facteur 2 du dénominateur.
C'est vrai : le programme de Première demande de savoir qu'une telle fonction admet une forme canonique 1. La complétion du carré 2 fonctionne pour n'importe quelles valeurs de a=0, b et c. Que le trinôme ait ou non des racines n'y change rien : la forme canonique existe toujours, par exemple x2+1 est déjà sous la forme (x−0)2+1.
La forme canonique a la structure a(x−α)2+β. Les écritures 2(x+1)2+3 (avec a=2, α=−1, β=3) et −(x−5)2+1 (avec a=−1, α=5, β=1) la respectent. L'écriture (x+1)(x+3) est une forme factorisée, et x2+2x+4 est la forme développée réduite : ce sont deux autres formes du programme 1, mais pas la forme canonique.
Pour a(x−α)2+β, le sommet est (α;β). Ici α=1 et β=5. Le choix (−1;5) lit le signe de la parenthèse sans l'inverser. Le choix (1;−5) change le signe de β à cause du signe de a, alors que a n'intervient pas dans les coordonnées du sommet. Enfin (5;1) échange abscisse et ordonnée.
On a f(x)=(x−3)2−9+4=(x−3)2−5, donc β=−5. On peut vérifier avec β=f(α)=f(3)=9−18+4=−5. Répondre 4 revient à garder c sans tenir compte du −9 ; répondre −9 oublie d'ajouter c.
C'est faux. En identifiant avec a(x−α)2+β, on lit x−3=x−α, donc α=3. Le signe « moins » est déjà dans la forme : α est l'opposé du nombre qui s'ajoute à x dans la parenthèse. C'est l'erreur de signe la plus répandue.
Le programme demande de choisir la forme adaptée au problème posé 1. La forme canonique fait apparaître α et β, donc le sommet et l'extremum. Elle n'est pas toujours plus courte, elle ne donne pas les racines directement (c'est le rôle de la forme factorisée), et toutes les formes d'un même trinôme sont dérivables puisqu'elles représentent la même fonction.
On écrit x2+8x=(x+4)2−16, donc f(x)=(x+4)2−16+1=(x+4)2−15. L'écriture (x+4)2+1 oublie de compenser le 16. L'écriture (x+8)2−63 utilise b au lieu de b/2. Enfin (x+4)2−17 retranche 16 puis encore 1 au lieu de l'ajouter : le terme c=+1 s'ajoute.
Comme (x−1)2≥0 et que a=−3<0, le terme −3(x−1)2 est toujours négatif ou nul : f(x)≤4, avec égalité pour x=1. C'est donc un maximum. Un minimum correspondrait à a>0. Inverser abscisse et ordonnée donnerait (4;1), ce qui est faux, et une fonction du second degré admet toujours un extremum.
On a f(x)=2(x2+2x)+7=2((x+1)2−1)+7=2(x+1)2+5. Comme a=2>0, le minimum est β=5, atteint pour x=−1. L'erreur classique est de répondre 7 (la valeur de f(0), pas le minimum) ou 6 en oubliant de multiplier le −1 par 2.
C'est vrai. En développant a(x−α)2+β, on obtient ax2−2aαx+aα2+β. L'identification avec ax2+bx+c impose α=−2ab puis β=c−aα2 : les trois nombres a, α et β sont déterminés. La forme factorisée, elle, n'existe pas toujours, alors que la forme canonique existe toujours et est unique.
On a (x−1)2=4, donc x−1=2 ou x−1=−2, soit x=3 ou x=−1. La réponse « x=3 seulement » oublie la racine négative de 4. La réponse x=5 et x=−3 élève 4 au carré au lieu d'en prendre la racine : elle résout (x−1)2=16, une autre équation. Enfin x=1 et x=−4 confond la valeur de α avec une solution.
L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation x=α. Ici x+2=x−(−2), donc α=−2. La réponse x=2 néglige le signe. La réponse x=−1 prend β pour l'abscisse. Enfin y=−1 est une droite horizontale, qui ne peut pas être un axe de symétrie d'une parabole de ce type.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser la forme canonique, développée ou factorisée ?
Le programme demande de choisir la forme adaptée au problème 1. Pour un extremum ou un sommet, prends la forme canonique. Pour trouver où la fonction s'annule, la forme factorisée. Pour calculer une image comme f(0) ou reconnaître a, b, c, la forme développée réduite.
Est-ce que $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ est à connaître par cœur ?
Cette formule vient directement de la complétion du carré : x2+abx=(x+2ab)2−…. Si tu comprends la méthode, tu peux la retrouver. En pratique, retenir la formule fait gagner du temps, et tu peux ensuite calculer β=f(α) pour vérifier ton résultat.
Que faire si je trouve une forme canonique et que je doute de mon calcul ?
Redéveloppe ta réponse. Si tu retrouves exactement ax2+bx+c, c'est correct. Tu peux aussi tester une valeur simple, par exemple x=0 : l'écriture canonique et l'écriture de départ doivent donner le même nombre.