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Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Forme canonique : exercices corrigés de 1re spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • La forme canonique d'un trinôme s'écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta : un carré multiplié par aa, plus une constante.
  • On trouve α=−b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a}, puis β=f(α)\beta=f(\alpha) : on calcule β\beta en remplaçant xx par α\alpha.
  • Un carré est toujours positif ou nul : la forme canonique donne le minimum (si a>0a>0) ou le maximum (si a<0a<0).
  • Pour une équation, la forme canonique isole le carré ; pour un problème, elle donne la valeur extrême.
  • Vérifie toujours en redéveloppant : tu dois retrouver l'expression de départ.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à manipuler la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré. Le programme de Première demande de savoir qu'une telle fonction admet une forme canonique, puis de choisir la forme la mieux adaptée (développée réduite, canonique ou factorisée) selon le problème à résoudre 1.

Les exercices montent en difficulté : les premiers te font lire et calculer, les suivants te demandent de trouver la forme canonique toi-même, les derniers t'amènent à l'utiliser pour résoudre une équation ou un problème concret. Cherche chaque exercice sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare avec la correction étape par étape.

Démonstration · D'où viennent $\alpha$ et $\beta$ ?

On factorise d'abord par aa :

ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)

On reconnaît le début du développement de (x+b2a)2=x2+bax+b24a2\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}. On écrit donc :

ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b24a2+ca]=a(x+b2a)2+c−b24aax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}

Ainsi α=−b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a} et β=c−b24a\beta=c-\dfrac{b^2}{4a}. En remplaçant xx par α\alpha, le carré s'annule : f(α)=βf(\alpha)=\beta. C'est pour cela que l'on peut calculer β\beta directement avec f(α)f(\alpha).

Un exemple rédigé avant de commencer

Les exercices

Exercice 1 Lire une forme canonique

★☆☆Environ 5 min

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2(x−3)2+5f(x)=2(x-3)^2+5.

  1. Donne les valeurs de aa, α\alpha et β\beta.
  2. Calcule f(5)f(5).
  3. Justifie que f(x)≥5f(x)\geq 5 pour tout réel xx.
Indice 1

Compare avec a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta terme à terme.

Indice 2

Pour la question 3, pense au signe d'un carré.

Voir la correction pas à pas

  1. On compare 2(x−3)2+52(x-3)^2+5 avec a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta : a=2a=2, α=3\alpha=3 et β=5\beta=5.

  2. On remplace xx par 55 : f(5)=2×(5−3)2+5f(5)=2\times(5-3)^2+5.

  3. On calcule : (5−3)2=4(5-3)^2=4, donc f(5)=2×4+5=13f(5)=2\times4+5=13.

  4. Pour tout réel xx, (x−3)2≥0(x-3)^2\geq0 ; en multipliant par 2>02>0, on garde 2(x−3)2≥02(x-3)^2\geq0.

  5. On ajoute 55 aux deux membres : f(x)≥5f(x)\geq5. Le minimum 55 est atteint pour x=3x=3, où le carré s'annule.

Quand la forme canonique est donnée, α\alpha et β\beta se lisent immédiatement et l'on obtient le minimum sans calcul compliqué. Réponse : f(5)=13f(5)=13.

Exercice 2 Compléter le carré avec $a=1$

★☆☆Environ 6 min

Écris la forme canonique de f(x)=x2+6x+2f(x)=x^2+6x+2, puis donne la valeur de β\beta.

Indice 1

Le début x2+6xx^2+6x est celui du développement de (x+3)2(x+3)^2.

Indice 2

Quand tu ajoutes un terme pour compléter le carré, retranche-le aussi.

Voir la correction pas à pas

  1. On repère x2+6xx^2+6x, qui est le début de (x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+6x+9.

  2. On écrit x2+6x=(x+3)2−9x^2+6x=(x+3)^2-9.

  3. On remplace dans ff : f(x)=(x+3)2−9+2f(x)=(x+3)^2-9+2.

  4. On regroupe les constantes : f(x)=(x+3)2−7f(x)=(x+3)^2-7.

  5. On vérifie : (x+3)2−7=x2+6x+9−7=x2+6x+2(x+3)^2-7=x^2+6x+9-7=x^2+6x+2. Ici α=−3\alpha=-3 et β=−7\beta=-7.

Le signe de α\alpha est opposé à celui qui apparaît dans la parenthèse : (x+3)2(x+3)^2 correspond à α=−3\alpha=-3. Réponse : β=−7\beta=-7.

Exercice 3 Appliquer les formules

★☆☆Environ 6 min

Soit f(x)=x2−8x+5f(x)=x^2-8x+5. Calcule α\alpha et β\beta, écris la forme canonique de ff, puis donne la valeur de β\beta.

Indice 1

Utilise α=−b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a} avec a=1a=1 et b=−8b=-8.

Indice 2

Pour β\beta, calcule f(α)f(\alpha).

Voir la correction pas à pas

  1. On identifie a=1a=1, b=−8b=-8 et c=5c=5.

  2. On calcule α=−−82×1=4\alpha=-\dfrac{-8}{2\times1}=4.

  3. On calcule β=f(4)=16−32+5=−11\beta=f(4)=16-32+5=-11.

  4. On écrit f(x)=(x−4)2−11f(x)=(x-4)^2-11.

  5. On vérifie : (x−4)2−11=x2−8x+16−11=x2−8x+5(x-4)^2-11=x^2-8x+16-11=x^2-8x+5.

Les deux formules suffisent dès que aa, bb et cc sont repérés. Réponse : β=−11\beta=-11.

Exercice 4 Un coefficient $a$ différent de 1

★★☆Environ 8 min

Soit f(x)=2x2−12x+7f(x)=2x^2-12x+7.

  1. Calcule α\alpha.
  2. Calcule β\beta et écris la forme canonique de ff.
  3. Vérifie ton résultat en redéveloppant.
Indice 1

Ici a=2a=2 : attention au dénominateur 2a2a.

Indice 2

β=f(α)\beta=f(\alpha) se calcule dans l'expression de départ, pas dans la forme canonique.

Voir la correction pas à pas

  1. On identifie a=2a=2, b=−12b=-12, c=7c=7.

  2. On calcule α=−−122×2=124=3\alpha=-\dfrac{-12}{2\times2}=\dfrac{12}{4}=3.

  3. On calcule β=f(3)=2×9−12×3+7=18−36+7=−11\beta=f(3)=2\times9-12\times3+7=18-36+7=-11.

  4. On écrit f(x)=2(x−3)2−11f(x)=2(x-3)^2-11.

  5. On vérifie : 2(x−3)2−11=2(x2−6x+9)−11=2x2−12x+18−11=2x2−12x+72(x-3)^2-11=2(x^2-6x+9)-11=2x^2-12x+18-11=2x^2-12x+7.

Le facteur 22 reste devant la parenthèse et ne multiplie pas −11-11. Réponse : β=−11\beta=-11.

Exercice 5 Un coefficient $a$ négatif

★★☆Environ 8 min

Soit f(x)=−3x2+6x+1f(x)=-3x^2+6x+1.

  1. Écris la forme canonique de ff.
  2. En déduis que ff admet un maximum et donne sa valeur.
Indice 1

Calcule α=−b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a} avec a=−3a=-3 : attention aux signes.

Indice 2

Si a<0a<0, le terme a(x−α)2a(x-\alpha)^2 est toujours négatif ou nul.

Voir la correction pas à pas

  1. On identifie a=−3a=-3, b=6b=6, c=1c=1.

  2. On calcule α=−62×(−3)=−6−6=1\alpha=-\dfrac{6}{2\times(-3)}=-\dfrac{6}{-6}=1.

  3. On calcule β=f(1)=−3+6+1=4\beta=f(1)=-3+6+1=4.

  4. On écrit f(x)=−3(x−1)2+4f(x)=-3(x-1)^2+4 ; en développant, −3(x2−2x+1)+4=−3x2+6x+1-3(x^2-2x+1)+4=-3x^2+6x+1, ce qui correspond.

  5. Comme (x−1)2≥0(x-1)^2\geq0 et −3<0-3<0, on a −3(x−1)2≤0-3(x-1)^2\leq0, donc f(x)≤4f(x)\leq4 pour tout réel xx.

  6. Cette valeur est atteinte en x=1x=1 : le maximum de ff est 44.

Quand a<0a<0, la constante β\beta est un maximum et non un minimum. Réponse : le maximum vaut 44.

Exercice 6 Montrer qu'un trinôme est toujours positif

★★☆Environ 8 min

Soit g(x)=x2+4x+7g(x)=x^2+4x+7. Écris la forme canonique de gg, puis montre que g(x)>0g(x)>0 pour tout réel xx. Donne le minimum de gg.

Indice 1

Complète le carré avec (x+2)2(x+2)^2.

Indice 2

Un carré est positif ou nul : que peut-on dire de ce carré plus une constante positive ?

Voir la correction pas à pas

  1. On repère x2+4xx^2+4x, début de (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2=x^2+4x+4.

  2. On écrit g(x)=(x+2)2−4+7=(x+2)2+3g(x)=(x+2)^2-4+7=(x+2)^2+3.

  3. Pour tout réel xx, (x+2)2≥0(x+2)^2\geq0.

  4. On ajoute 33 : g(x)≥3g(x)\geq3, donc g(x)>0g(x)>0.

  5. Le minimum est 33, atteint pour x=−2x=-2.

La forme développée ne permet pas de voir que gg reste positive ; la forme canonique le montre en une ligne. Réponse : le minimum vaut 33.

Exercice 7 Résoudre une équation avec la forme canonique

★★☆Environ 10 min

Résous dans R\mathbb{R} l'équation x2−6x+5=0x^2-6x+5=0 en passant par la forme canonique. Donne la plus grande des solutions.

Indice 1

Écris d'abord x2−6x+5x^2-6x+5 sous la forme (x−3)2−…(x-3)^2-\ldots.

Indice 2

Tu obtiens (x−3)2=…(x-3)^2=\ldots : il y a deux nombres dont le carré est cette valeur.

Voir la correction pas à pas

  1. On complète le carré : x2−6x+5=(x−3)2−9+5=(x−3)2−4x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4.

  2. L'équation devient (x−3)2−4=0(x-3)^2-4=0, soit (x−3)2=4(x-3)^2=4.

  3. Les nombres dont le carré vaut 44 sont 22 et −2-2 : x−3=2x-3=2 ou x−3=−2x-3=-2.

  4. On obtient x=5x=5 ou x=1x=1.

  5. On vérifie : 52−30+5=05^2-30+5=0 et 1−6+5=01-6+5=0.

L'ensemble des solutions est {1 ; 5}\{1\,;\,5\}. La plus grande vaut 55. Il ne faut pas oublier la seconde solution, issue de x−3=−2x-3=-2.

Exercice 8 Retrouver une fonction à partir de son extremum

★★★Environ 12 min

Une fonction ff du second degré a pour forme canonique f(x)=a(x−1)2+2f(x)=a(x-1)^2+2, avec aa un réel non nul. On sait que f(3)=10f(3)=10.

  1. Détermine la valeur de aa.
  2. Écris la forme développée de ff.
Indice 1

Remplace xx par 33 dans la forme canonique et utilise f(3)=10f(3)=10.

Indice 2

Pour la question 2, développe (x−1)2(x-1)^2 puis multiplie par aa.

Voir la correction pas à pas

  1. On écrit f(3)=a(3−1)2+2=4a+2f(3)=a(3-1)^2+2=4a+2.

  2. On traduit l'énoncé : 4a+2=104a+2=10, donc 4a=84a=8.

  3. On obtient a=2a=2.

  4. La forme canonique est f(x)=2(x−1)2+2f(x)=2(x-1)^2+2.

  5. On développe : 2(x2−2x+1)+2=2x2−4x+2+2=2x2−4x+42(x^2-2x+1)+2=2x^2-4x+2+2=2x^2-4x+4.

On retrouve f(x)=2x2−4x+4f(x)=2x^2-4x+4. Vérification : f(3)=18−12+4=10f(3)=18-12+4=10. Réponse : a=2a=2.

Exercice 9 Aire maximale d'un enclos

★★★Environ 15 min

Un jardinier dispose de 4040 m de grillage pour entourer un enclos rectangulaire. On note xx (en mètres) la longueur d'un côté, avec 0<x<200<x<20.

  1. Exprime l'autre côté en fonction de xx, puis l'aire A(x)A(x).
  2. Écris A(x)A(x) sous forme canonique.
  3. En déduis la valeur de xx pour laquelle l'aire est maximale, puis cette aire maximale en m².
Indice 1

Le périmètre vaut 2×(longueur+largeur)=402\times(\text{longueur}+\text{largeur})=40, donc longueur ++ largeur =20=20.

Indice 2

Ici a=−1a=-1 : le terme a(x−α)2a(x-\alpha)^2 est négatif ou nul, donc β\beta est un maximum.

Voir la correction pas à pas

  1. Le demi-périmètre est 2020 : l'autre côté mesure 20−x20-x.

  2. L'aire est A(x)=x(20−x)=−x2+20xA(x)=x(20-x)=-x^2+20x.

  3. On identifie a=−1a=-1, b=20b=20 : α=−202×(−1)=10\alpha=-\dfrac{20}{2\times(-1)}=10.

  4. On calcule β=A(10)=−100+200=100\beta=A(10)=-100+200=100.

  5. La forme canonique est A(x)=−(x−10)2+100A(x)=-(x-10)^2+100.

  6. Comme (x−10)2≥0(x-10)^2\geq0, on a A(x)≤100A(x)\leq100, avec égalité pour x=10x=10.

  7. L'aire est maximale pour x=10x=10 m : l'enclos est un carré de 1010 m de côté, et son aire vaut 100100 m².

La forme canonique transforme un problème d'optimisation en une simple lecture : le maximum est β\beta, atteint en α\alpha. Réponse : 100100 m².

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle forme utiliser : développée, canonique ou factorisée ?

Le programme demande justement de choisir la forme adaptée au problème 1. En pratique : la forme développée sert à calculer f(0)f(0) ou à repérer aa, bb, cc ; la forme canonique sert à trouver un minimum ou un maximum, ou à étudier le signe d'un trinôme ; la forme factorisée, quand elle existe, sert à résoudre f(x)=0f(x)=0 rapidement.

Pourquoi $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et pas $\dfrac{b}{2a}$ ?

Parce que la forme canonique s'écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta avec un signe moins devant α\alpha. En complétant le carré, on obtient a(x+b2a)2a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 ; comme x+b2a=x−(−b2a)x+\dfrac{b}{2a}=x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right), on a bien α=−b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a}. Dans x2−8x+5x^2-8x+5, on obtient ainsi α=4\alpha=4 et (x−4)2(x-4)^2.

Comment vérifier rapidement que ma forme canonique est juste ?

Redéveloppe : a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta doit redonner exactement ax2+bx+cax^2+bx+c. Tu peux aussi tester une valeur, par exemple x=0x=0 : aα2+βa\alpha^2+\beta doit être égal à cc. Pour f(x)=2(x−3)2−11f(x)=2(x-3)^2-11, on trouve 2×9−11=72\times9-11=7, ce qui est bien le terme constant de 2x2−12x+72x^2-12x+7.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de Première générale (spécialité) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

  1. Programme de mathématiques de Première générale (spécialité), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Canonique (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Canonique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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