Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Forme canonique d'un trinôme : fiche de révision de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré s'écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec $a\neq 0$ .
Pour la trouver : on factorise $a$ , on complète le carré, puis on regroupe les constantes.
On a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ : on vérifie toujours en redéveloppant.
Cette forme montre l'extremum de $f$ et prépare l'étude du discriminant et des racines.

Ce qu'est la forme canonique

Une fonction polynôme du second degré s'écrit d'habitude $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ . Cette écriture, dite développée réduite, a un défaut : on n'y lit pas directement ce que fait la fonction. Le programme de Première demande de savoir que ces fonctions admettent aussi une forme canonique, et de choisir la forme la plus adaptée à chaque problème ¹.

Trouver la forme canonique

Démonstration · D'où viennent $\alpha$ et $\beta$

On part de $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ .

$\begin{aligned}f(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$

Donc $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ . Comme $f(\alpha)=a\times 0+\beta$ , on a aussi $\beta=f(\alpha)$ .

Deux exemples rédigés

Pièges fréquents

À quoi sert cette forme

Un carré est toujours positif ou nul. Dans $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le terme $(x-\alpha)^2$ vaut $0$ pour $x=\alpha$ et reste positif ailleurs. Donc :

si $a>0$ , $f$ admet un minimum égal à $\beta$ , atteint en $x=\alpha$ ;
si $a<0$ , $f$ admet un maximum égal à $\beta$ , atteint en $x=\alpha$ .

Par exemple, $h(x)=-3(x+1)^2+5$ a pour maximum $5$ , atteint en $x=-1$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si j'ai le droit de choisir la forme canonique ?

Tu choisis la forme selon la question. Pour trouver un minimum ou un maximum, la forme canonique est la plus directe. Pour résoudre une équation, la forme factorisée est souvent plus rapide. Le programme demande justement de savoir choisir la forme adaptée ¹.

Faut-il toujours passer par la complétion du carré ?

Non. Une fois la méthode comprise, utilise le raccourci : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ , puis $\beta=f(\alpha)$ . La complétion du carré reste la méthode de fond ², utile quand tu dois la justifier ou retrouver les formules.

Pourquoi dit-on « canonique » ?

Le mot qualifie une écriture standard, à laquelle toutes les expressions d'un même type peuvent se ramener ². Chaque fonction du second degré possède ainsi une forme canonique, qui rend les comparaisons et les calculs plus simples.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de Première générale (spécialité) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques de Première générale (spécialité), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Canonique (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Canonique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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