Parabole et sommet d'un trinôme : cours de 1re spé maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La représentation graphique d'un polynôme de degré 2 est une parabole2.
Pour f(x)=ax2+bx+c, le sommet a pour abscisse α=−2ab et pour ordonnée β=f(α)=−4ab2−4ac2.
Si a<0, la parabole est tournée vers le bas et le sommet est un maximum 1 ; si a>0, elle est tournée vers le haut et le sommet est un minimum.
La droite x=α est l'axe de symétrie : deux racines éventuelles sont symétriques par rapport à elle, donc α est leur moyenne.
Méthode : calculer α, puis β=f(α), puis conclure sur l'extremum et la position de la courbe.
Pourquoi s'intéresser à la parabole ?
Tu connais déjà la forme canonique, le discriminant, la factorisation d'un trinôme et la résolution d'inéquations du second degré. Jusqu'ici, tu travaillais surtout avec des formules. Ce chapitre remet l'image au centre : à quoi ressemble la courbe d'un trinôme, où se trouve son point le plus haut ou le plus bas, et comment le calculer vite et sans erreur ?
La réponse tient en un mot : le sommet. Une fois que tu sais le placer, tu sais dire si la fonction admet un minimum ou un maximum, où elle change de sens de variation, et si la courbe coupe l'axe des abscisses.
La parabole n'est pas qu'un objet de cours. En mathématiques, la représentation graphique d'un polynôme de degré 2 est une parabole 2. En physique, la trajectoire d'un projectile soumis uniquement à la pesanteur en est une aussi 2. C'est pour cela qu'un sujet d'évaluation peut te demander l'équation d'une trajectoire, la hauteur maximale d'un saut ou la forme d'un miroir.
La parabole, courbe d'un trinôme
Le coefficient a commande l'ouverture. Dans une activité proposée sur Eduscol, la parabole d'équation y=−0,3x2+2,1x est tournée « vers le bas » parce que a<01. Quand a>0, c'est l'inverse : la courbe est tournée vers le haut, comme un U.
Lire le signe de a
Signe de a
Orientation
Le sommet est
a > 0
vers le haut (forme de U)
un minimum
a < 0
vers le bas
un maximum
Lire le signe de a
Plus ∣a∣ est grand, plus la parabole est « resserrée » autour de son axe ; plus ∣a∣ est petit, plus elle est « évasée ». Les coefficients b et c déplacent la courbe dans le repère. Le nombre c a une interprétation simple : f(0)=c, donc la parabole coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;c).
Le sommet : définition et coordonnées
Parabole de f(x) = x² − 4x + 3 · Le sommet S(2 ; −1) est au milieu des racines 1 et 3.
D'où viennent ces formules ?
Démonstration · Retrouver α et β par la forme canonique
Soit f(x)=ax2+bx+c avec a=0. On met a en facteur dans les deux premiers termes :
f(x)=a(x2+abx)+c.
On reconnaît le début du carré (x+2ab)2=x2+abx+4a2b2. On écrit donc
f(x)=a[(x+2ab)2−4a2b2]+c=a(x+2ab)2−4ab2+c.
On obtient f(x)=a(x−α)2+β avec
α=−2abetβ=c−4ab2=4a4ac−b2=−4aΔ.
Ces valeurs sont bien celles de la formule du sommet 2.
Cette écriture explique tout. Un carré est toujours positif ou nul, et il vaut 0 exactement quand x=α. Donc :
si a>0, le terme a(x−α)2 est positif ou nul, et f(x)≥β pour tout x, avec égalité en x=α : β est un minimum ;
si a<0, le terme a(x−α)2 est négatif ou nul, et f(x)≤β : β est un maximum.
Minimum, maximum et variations
Le saut modélisé par y = −0,3x² + 2,1x · Modèle d'un saut de BMX : le sommet est le point le plus haut.
Axe de symétrie et racines
Méthode : déterminer le sommet pas à pas
Lire a, b, cDéveloppe si besoin, puis repère les trois coefficients.
Calculer αα = −b / (2a)
Calculer ββ = f(α), en remplaçant x par α.
Conclurea > 0 : minimum ; a < 0 : maximum.
Les étapes pour trouver le sommet
La parabole dans le monde réel
La forme particulière de la parabole a des applications très concrètes. Un réflecteur parabolique est une surface réfléchissante qui sert à collecter ou à projeter de l'énergie : lumière, son ou ondes radio 3. Sa forme est celle d'un paraboloïde, surface obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe 3.
Une onde plane qui arrive parallèlement à l'axe est renvoyée vers un point unique, le foyer ; inversement, une source placée au foyer produit un faisceau parallèle 3. On retrouve cette propriété dans les télescopes à miroir, les fours solaires, les lampes de poche, les projecteurs et les phares de voiture 3.
Exercices corrigés
Exercice 1 Sommet et extremum d'un trinôme
★☆☆Environ 8 min
Soit f(x)=2x2−8x+5.
Calcule l'abscisse α du sommet de la parabole.
Calcule l'ordonnée β du sommet.
f admet-elle un minimum ou un maximum ? Quelle est sa valeur ?
Indice 1
Identifie d'abord a, b et c.
Indice 2
Pour β, remplace x par α dans f.
Voir la correction pas à pas
On lit a=2, b=−8, c=5.
α=−2ab=−4−8=2.
β=f(2)=2×4−16+5=−3. Le sommet est S(2;−3).
Comme a=2>0, la parabole est tournée vers le haut : f admet un minimum, égal à −3, atteint en x=2.
Le sommet est S(2;−3) et le minimum de f vaut −3. Contrôle : Δ=64−40=24 et −824=−3.
Exercice 2 La hauteur maximale d'un saut
★★☆Environ 10 min
Un saut est modélisé par la courbe d'équation y=−0,3x2+2,1x, où x et y sont en mètres.
Détermine les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
En déduire l'abscisse du sommet.
Calcule la hauteur maximale atteinte, en mètres.
Indice 1
Factorise par x pour résoudre −0,3x2+2,1x=0.
Indice 2
L'abscisse du sommet est la moyenne des deux racines.
Voir la correction pas à pas
−0,3x2+2,1x=x(−0,3x+2,1)=0 donne x=0 ou x=7.
Par symétrie, α=20+7=3,5. La formule −2ab=−−0,62,1=3,5 confirme.
β=−0,3×3,52+2,1×3,5=−3,675+7,35=3,675.
Comme a<0, cette valeur est un maximum.
Le sommet est S(3,5;3,675) : la hauteur maximale est de 3,675 m, atteinte à 3,5 m du départ.
Exercice 3 Retrouver une équation à partir du sommet
★★★Environ 12 min
Une parabole a pour sommet S(1;4) et passe par le point A(3;0).
Écris l'équation sous la forme f(x)=a(x−1)2+4.
Détermine a.
Développe f(x) et vérifie que l'abscisse du sommet obtenue avec −2ab vaut bien 1.
Indice 1
Écris que A appartient à la courbe : f(3)=0.
Indice 2
Développe (x−1)2=x2−2x+1.
Voir la correction pas à pas
f(3)=0 donne a(3−1)2+4=0, c'est-à-dire 4a+4=0.
On en déduit a=−1.
f(x)=−(x−1)2+4=−(x2−2x+1)+4=−x2+2x+3.
Ici a=−1 et b=2 : −2ab=−−22=1, ce qui est cohérent.
La parabole a pour équation f(x)=−x2+2x+3, avec a=−1. Elle est tournée vers le bas, ce qui est cohérent avec un sommet situé au-dessus du point A.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
α=−2ab=−6−12=2. La réponse −2 vient d'un oubli du signe moins devant 2ab ; la réponse 4 vient d'une division par a au lieu de 2a.
α=3 puis β=f(3)=9−18+1=−8. Calculer f(−3) donnerait 28, une erreur de signe sur α.
Faux : pour a<0 la parabole est tournée vers le bas 1, et son sommet est un maximum. C'est quand a>0 qu'elle est tournée vers le haut, avec un sommet qui est un minimum.
a=−1<0 donc il s'agit d'un maximum. α=2 et β=f(2)=−4+8+5=9. La valeur 2 est l'abscisse où le maximum est atteint, pas le maximum lui-même.
Le sommet est (2;−1), l'axe est x=2 et 21+3=2. Le minimum vaut −1 et non 2 : 2 est l'abscisse où il est atteint.
L'axe passe par le milieu des deux racines : 22+8=5. La valeur 10 est la somme des racines, qu'il ne faut pas oublier de diviser par 2.
a=1>0, α=−1 et β=1−2+4=3>0 : c'est un minimum strictement positif. Ce n'est pas un maximum, car a>0 ; le sommet est (−1;3), pas l'origine.
Les questions qu'on se pose
Quelle formule retenir pour le sommet : celle avec Δ ou f(α) ?
Retiens α=−2ab, puis calcule β=f(α). La formule β=−4aΔ est équivalente 2, mais elle est plus longue et plus sujette aux erreurs de signe. Elle sert surtout de contrôle.
Comment savoir si le sommet est un minimum ou un maximum ?
Regarde le signe de a. Si a>0, la parabole est tournée vers le haut : c'est un minimum. Si a<0, elle est tournée vers le bas 1 : c'est un maximum.
À quoi sert le sommet dans un exercice ?
Il donne la valeur extrême de la fonction et le tableau de variations. Il sert à répondre à des questions de type « hauteur maximale », « bénéfice maximal » ou « aire minimale », et à savoir si la courbe coupe l'axe des abscisses.
Si la parabole n'a pas de racine, peut-on quand même trouver son sommet ?
Oui. Le sommet existe toujours, car il ne dépend que de a et b pour α puis de f(α) pour β. Quand il n'y a pas de racine, tu ne peux simplement pas utiliser leur moyenne : il faut la formule −2ab.
Pourquoi la parabole est-elle symétrique ?
Avec la forme canonique f(x)=a(x−α)2+β, on a f(α−h)=ah2+β=f(α+h) pour tout réel h. Deux points situés à la même distance de α ont donc la même image : la courbe est symétrique par rapport à la droite x=α2.