Parabole et sommet : exercices corrigés de Première

On lit $a=1$, $b=-6$, $c=5$.

On calcule $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2}=3$.

On calcule $\Delta=(-6)^2-4\times1\times5=36-20=16$, donc $\beta=-\dfrac{16}{4}=-4$.

On vérifie avec $f(3)=9-18+5=-4$ : le résultat est cohérent.

Le sommet est $S(3\,;\,-4)$. L'axe de symétrie passe par le sommet et est vertical ² : c'est la droite d'équation $x=3$.

On lit $a=-2<0$ : la parabole est tournée vers le bas ¹. Le sommet est donc le point le plus haut.

On calcule $\alpha=-\dfrac{8}{2\times(-2)}=-\dfrac{8}{-4}=2$.

On calcule $\Delta=8^2-4\times(-2)\times(-3)=64-24=40$, puis $\beta=-\dfrac{40}{4\times(-2)}=-\dfrac{40}{-8}=5$.

On vérifie : $g(2)=-2\times4+16-3=5$.

Le sommet est $S(2\,;\,5)$.

On développe : $(x+1)(x-5)=x^2-5x+x-5=x^2-4x-5$. La factorisation est exacte.

Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : les racines sont $-1$ et $5$.

Les points $(-1\,;\,0)$ et $(5\,;\,0)$ ont la même ordonnée. La parabole est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par son sommet ² : cet axe est à égale distance des deux points, donc $\alpha=\dfrac{-1+5}{2}=2$.

On calcule l'ordonnée : $h(2)=4-8-5=-9$.

On contrôle avec la formule : $\Delta=16+20=36$ et $-\dfrac{36}{4}=-9$.

Le sommet étant $(2\,;\,3)$, on écrit $f(x)=a(x-2)^2+3$.

Le point $A$ appartient à la parabole : $f(4)=11$, soit $a(4-2)^2+3=11$.

On résout : $4a=8$, donc $a=2$.

On développe : $f(x)=2(x^2-4x+4)+3=2x^2-8x+11$.

Vérification avec la formule : $\alpha=-\dfrac{-8}{4}=2$ et $f(2)=8-16+11=3$. On retrouve bien le sommet donné.

Le coefficient de $x^2$ est $a=-0{,}3<0$ : la parabole est tournée vers le bas ¹.

Pour $x=0$, on obtient $y=0$. Pour $x=7$ : $-0{,}3\times49+2{,}1\times7=-14{,}7+14{,}7=0$. La courbe coupe donc l'axe des abscisses en $0$ et en $7$.

Par symétrie, l'abscisse du sommet est $\alpha=\dfrac{0+7}{2}=3{,}5$. La formule donne le même résultat : $-\dfrac{2{,}1}{2\times(-0{,}3)}=3{,}5$.

On calcule l'ordonnée : $y(3{,}5)=-0{,}3\times12{,}25+2{,}1\times3{,}5=-3{,}675+7{,}35=3{,}675$.

Le sommet est $S(3{,}5\,;\,3{,}675)$ et il est le point le plus haut de la courbe.

Ici $a=1$. L'abscisse du sommet vaut $-\dfrac{b}{2}$ ² ; elle doit valoir $3$, donc $-\dfrac{b}{2}=3$ et $b=-6$.

Le sommet appartient à la parabole : $f(3)=-4$, soit $9+(-6)\times3+c=-4$.

On simplifie : $9-18+c=-4$, donc $c=-4+9=5$.

On obtient $f(x)=x^2-6x+5$.

Contrôle par la forme canonique : $(x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5$. Le résultat est confirmé.

Le périmètre est $40$, donc largeur + longueur $=20$ et la longueur vaut $20-x$.

L'aire est $A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$.

On lit $a=-1<0$ : la parabole est tournée vers le bas ¹, donc le sommet est un maximum.

On calcule $\alpha=-\dfrac{20}{2\times(-1)}=10$, valeur bien comprise entre $0$ et $20$.

On calcule $\beta=A(10)=-100+200=100$. Contrôle : $\Delta=400$ et $-\dfrac{400}{4\times(-1)}=100$.

Pour $x=10$, la longueur vaut $20-10=10$ : la largeur et la longueur sont égales.