Sommes de termes consécutifs : cours de Première

Une suite te donne une liste de nombres rangés : $u_0, u_1, u_2, \dots$ Très souvent, on ne s'intéresse pas à un terme isolé, mais au total de plusieurs termes d'affilée. Un exemple concret : si tu mets de côté une somme qui augmente chaque mois, combien as-tu au bout d'un an ? Ou encore : si un capital est multiplié par un même coefficient chaque année, quel est le cumul des valeurs sur dix ans ?

Le programme de Première demande justement, pour une suite arithmétique ou géométrique, de savoir calculer le terme général puis la somme de termes consécutifs, et en particulier la somme $1 + q + \dots + q^n$ ainsi que des seuils.¹ Dans ce cours, tu vas apprendre à le faire sans jamais additionner les termes un par un.

Tu as déjà vu dans les chapitres précédents comment générer une suite, reconnaître une suite arithmétique (on ajoute toujours la même raison $r$) ou géométrique (on multiplie toujours par la même raison $q$), et étudier son sens de variation. Ici, on s'appuie sur ces acquis. Le chapitre suivant, la notion de limite, reprendra les sommes géométriques pour se demander ce qui se passe quand on additionne de plus en plus de termes.

Avant toute formule, une question décide de la réussite : combien y a-t-il de termes dans la somme ? C'est la source d'erreur numéro un.

Règle simple : de l'indice $p$ à l'indice $m$ inclus, il y a $m - p + 1$ termes. On ajoute 1 parce que les deux extrémités comptent.

Commençons par le cas le plus célèbre : $1 + 2 + 3 + \dots + n$. Les entiers de 1 à $n$ forment une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1. L'idée est d'écrire la somme deux fois, dans deux ordres différents, puis d'additionner colonne par colonne. Cette technique de regroupement donne des termes tous égaux à $n+1$, et il suffit ensuite de diviser par 2.²

L'idée de l'addition à l'envers marche pour n'importe quelle suite arithmétique, pas seulement pour les entiers. C'est bien l'un des calculs que le programme attend pour une suite arithmétique : trouver le terme général, puis la somme de termes consécutifs.¹ Rappelons que dans une suite arithmétique de raison $r$, on passe d'un terme au suivant en ajoutant $r$, donc $u_n = u_0 + nr$. Une propriété décisive : la somme de deux termes situés à égale distance des extrémités est constante.

Passons aux suites géométriques, où l'on multiplie par $q$ à chaque étape. Le programme cite explicitement le calcul de $1 + q + \dots + q^n$.¹ Ici, l'astuce n'est plus d'écrire la somme à l'envers : on la multiplie par $q$ et on soustrait, ce qui fait disparaître presque tous les termes.

Une suite géométrique ne commence pas toujours par 1. Si $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$, alors $v_k = v_0 q^k$. La somme se ramène à la précédente en factorisant le premier terme.

Le programme évoque aussi le calcul de seuils : on cherche le plus petit rang $n$ pour lequel la somme dépasse une valeur donnée.¹ Comme la somme est donnée par une formule, il suffit de résoudre une inégalité, ou de tester des valeurs avec la calculatrice ou un petit programme.

Les ressources d'accompagnement du programme proposent d'aller un cran plus loin avec des suites dites arithmético-géométriques, où l'on passe d'un terme au suivant par une relation du type $u_{n+1} = a\,u_n + b$. Elles servent à calculer des sommes de termes consécutifs dans des situations comme le remboursement d'un emprunt par mensualités constantes.² Une idée utile : on se ramène à une suite géométrique en décalant la suite d'un nombre bien choisi, puis on applique la formule de ce cours. Tu n'as pas besoin de cela pour réussir les exercices de base, mais tu vois à quoi servent les sommes géométriques dans la vie réelle.