Sommes de termes consécutifs : exercices corrigés de 1re

On associe les termes : $1+100=101$, $2+99=101$, $3+98=101$, et ainsi de suite. Chaque paire vaut 101.

Il y a 100 termes, donc 50 paires. Autre lecture : en écrivant la somme deux fois (à l'endroit puis à l'envers), on obtient 100 termes tous égaux à 101, et on divise par 2.

On calcule : $S=\frac{100\times101}{2}=50\times101=5050$.

Les termes s'écrivent $2k$ avec $k$ allant de 1 à 100. La suite est arithmétique de raison 2.

Le dernier terme est $2\times100=200$, donc il y a 100 termes.

On applique la formule : $S=100\times\frac{2+200}{2}=100\times101=10\,100$.

Contrôle : on peut aussi factoriser par 2, ce qui donne $2\times(1+2+\dots+100)=2\times5050=10\,100$.

Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=3$ : la suite est arithmétique de raison 3.

Le premier terme est $u_0=5$ et le dernier est $u_{19}=5+3\times19=62$.

De $u_0$ à $u_{19}$ il y a 20 termes.

On applique la formule : $S=20\times\frac{5+62}{2}=10\times67=670$.

Chaque terme est le double du précédent : c'est la somme $1+q+\dots+q^{10}$ avec $q=2$.

On applique la formule avec $n=10$ : $S=\frac{1-2^{11}}{1-2}$.

Comme $2^{11}=2048$, on obtient $S=\frac{1-2048}{-1}=2047$.

La suite est arithmétique de raison 4, car $u_{n+1}-u_n=4$.

Le premier terme de la somme est $u_{10}=4\times10-3=37$ ; le dernier est $u_{30}=4\times30-3=117$.

Nombre de termes : $30-10+1=21$.

$S=21\times\frac{37+117}{2}=21\times77=1617$.

De $v_0$ à $v_7$, il y a 8 termes.

On écrit : $S=3\times\frac{1-\left(\frac12\right)^8}{1-\frac12}$.

Comme $\left(\frac12\right)^8=\frac1{256}$, on a $1-\frac1{256}=\frac{255}{256}$, et diviser par $\frac12$ revient à multiplier par 2.

$S=3\times2\times\frac{255}{256}=\frac{765}{128}\approx5{,}977$.

On utilise $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ et on pose l'équation $\frac{n(n+1)}{2}=210$.

On la transforme : $n^2+n-420=0$.

Le discriminant vaut $1+4\times420=1681=41^2$. Les solutions sont $n=\frac{-1-41}{2}=-21$ et $n=\frac{-1+41}{2}=20$.

$n$ est un entier naturel, on garde donc $n=20$. Vérification : $\frac{20\times21}{2}=210$.

Avec $q=2$, $S_n=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1$.

L'inégalité $S_n>1\,000\,000$ équivaut à $2^{n+1}>1\,000\,001$.

On teste : $2^{19}=524\,288$, donc trop petit ; $2^{20}=1\,048\,576$, qui convient.

Il faut donc $n+1\geq20$, c'est-à-dire $n\geq19$. Le plus petit entier est $n=19$.

Augmenter de 8 % revient à multiplier par $1{,}08$. Le versement de l'année $k+1$ vaut donc 1,08 fois celui de l'année $k$ : suite géométrique de premier terme 1000 et de raison $q=1{,}08$.

On additionne 10 termes : $S=1000\times\frac{1-1{,}08^{10}}{1-1{,}08}$.

On calcule $1{,}08^{10}\approx2{,}158925$, donc $S\approx1000\times\frac{-1{,}158925}{-0{,}08}$.

$S\approx1000\times14{,}4866\approx14\,486{,}56$.

$v_{n+1}=u_{n+1}+3=2u_n+6=2(u_n+3)=2v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 2, de premier terme $v_0=1+3=4$.

Donc $v_n=4\times2^n$ et $u_n=v_n-3=4\times2^n-3$. Contrôle : $u_1=4\times2-3=5$ et $2\times1+3=5$.

Pour la somme, on écrit $S=\sum_{k=0}^{9}4\times2^k-\sum_{k=0}^{9}3$.

La première somme vaut $4\times\frac{1-2^{10}}{1-2}=4\times1023=4092$ ; la seconde vaut $3\times10=30$ (dix termes).

$S=4092-30=4062$.