Systèmes d'équations linéaires : cours de Seconde

Jusqu'ici, tu as résolu des équations du premier degré qui contiennent une seule inconnue, par exemple $3x+5=14$. Mais beaucoup de situations mettent en jeu deux quantités inconnues à la fois : le prix d'un cahier et celui d'un stylo, le nombre d'adultes et d'enfants dans une salle, les coordonnées d'un point du plan. Une seule équation ne permet pas de trouver deux inconnues : il en faut deux, vraies ensemble.

Un tel ensemble d'équations s'appelle un système. En Seconde, tu apprends à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ¹. Cette notion fait son entrée dans le programme de la classe, au cœur du calcul algébrique ². Elle sert aussi à trouver les coordonnées du point où deux droites se croisent ³. Dans ce cours, tu verras deux méthodes de résolution, le lien avec la géométrie, puis les cas particuliers.

Ce chapitre s'appuie sur ce que tu connais déjà : résoudre une équation du premier degré, développer et réduire une expression, utiliser les identités remarquables pour calculer. Il prépare ensuite la modélisation : transformer un problème écrit en phrases en système, puis le résoudre.

L'idée de la substitution : une des équations permet d'exprimer une inconnue en fonction de l'autre. On remplace ensuite cette expression dans l'autre équation, qui n'a plus qu'une seule inconnue. C'est donc un retour à ce que tu sais faire.

La substitution devient pénible quand aucun coefficient n'est égal à $1$ : on tombe sur des fractions. La combinaison (on dit aussi élimination) est alors plus confortable. Le principe : si deux égalités sont vraies, leur somme membre à membre est vraie aussi, et on peut multiplier une égalité par un nombre non nul sans la changer. On arrange les coefficients pour qu'une inconnue disparaisse.

Les deux méthodes donnent toujours le même résultat. Le choix est une question de confort :

Tu peux aussi mélanger : éliminer une inconnue par combinaison, puis retrouver l'autre par substitution dans une équation de départ, comme dans les exemples ci-dessus.

Une équation du type $ax+by=c$ avec $b\neq 0$ peut s'écrire $y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$ : c'est l'équation d'une droite. Les points de cette droite sont exactement les points dont les coordonnées $(x\,;\,y)$ vérifient l'équation. Résoudre un système revient donc à chercher les points qui appartiennent aux deux droites à la fois.

C'est pourquoi le programme associe la détermination des coordonnées du point d'intersection de deux droites à la résolution de systèmes d'équations linéaires ³. On y apprend aussi à déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes ¹.

Deux droites du plan peuvent se positionner de trois façons. Savoir si elles sont parallèles ou sécantes fait partie des attendus du programme ¹. Chaque position correspond à un nombre de solutions du système :

Une bonne copie contient quatre éléments : le système de départ, la méthode annoncée, les calculs ordonnés (une égalité par ligne) et une phrase de conclusion. Voici un modèle complet.

Quelques astuces permettent de gagner du temps.

Repérer les équations proportionnelles. Avant de te lancer, compare les coefficients : si les rapports $\dfrac{a}{a'}$ et $\dfrac{b}{b'}$ sont égaux, tu es dans un cas particulier (aucune solution ou infinité) et la résolution classique conduira à $0=\dots$.

Simplifier avant de calculer. Une équation comme $4x+6y=10$ se simplifie par $2$ en $2x+3y=5$. Les nombres plus petits réduisent les risques d'erreur.

Éliminer l'inconnue la plus commode. Dans $\begin{cases} 6x+5y=1 \\ 4x-3y=7 \end{cases}$, éliminer $x$ demande de multiplier par $2$ et par $3$ (on obtient $12x$ dans les deux cas) ; éliminer $y$ demande de multiplier par $3$ et par $5$. Choisis la voie qui garde les nombres les plus petits.