Systèmes d'équations linéaires : exercices corrigés de 2de

On additionne membre à membre : $(x+y)+(x-y) = 12+4$, soit $2x = 16$.

On divise par $2$ : $x = 8$.

On remplace dans la première équation : $8 + y = 12$, donc $y = 4$.

Vérification dans la seconde : $8 - 4 = 4$, c'est correct.

On remplace $y$ par $2x - 1$ dans la seconde équation : $3x + (2x - 1) = 14$.

On réduit : $5x - 1 = 14$, donc $5x = 15$ et $x = 3$.

On calcule $y$ avec la première équation : $y = 2 \times 3 - 1 = 5$.

Vérification : $3 \times 3 + 5 = 14$, c'est correct.

On multiplie la seconde équation par $3$ : $12x - 3y = 15$.

On additionne avec la première : $(2x + 3y) + (12x - 3y) = 13 + 15$, soit $14x = 28$.

On en déduit $x = 2$.

On remplace dans la première équation : $2 \times 2 + 3y = 13$, donc $3y = 9$ et $y = 3$.

Vérification dans la seconde : $4 \times 2 - 3 = 5$, c'est correct.

On multiplie la première équation par $-2$ : $-6x - 4y = -14$.

On additionne avec la seconde : $(5x + 4y) + (-6x - 4y) = 13 - 14$, soit $-x = -1$.

On en déduit $x = 1$.

On remplace dans la première équation : $3 \times 1 + 2y = 7$, donc $2y = 4$ et $y = 2$.

Vérification dans la seconde : $5 \times 1 + 4 \times 2 = 13$, c'est correct.

On multiplie la première équation par $6$ : $3x + 2y = 18$.

La seconde équation donne $x = y + 1$.

On substitue : $3(y + 1) + 2y = 18$, soit $5y + 3 = 18$, donc $y = 3$.

On en déduit $x = 3 + 1 = 4$.

Vérification dans la première équation initiale : $\dfrac{4}{2} + \dfrac{3}{3} = 2 + 1 = 3$, c'est correct.

On pose $a$ = nombre de billets adultes et $c$ = nombre de billets enfants.

Nombre de billets : $a + c = 30$. Recette : $8a + 5c = 213$.

Par substitution, $c = 30 - a$, donc $8a + 5(30 - a) = 213$.

On développe : $8a + 150 - 5a = 213$, soit $3a = 63$ et $a = 21$.

Alors $c = 30 - 21 = 9$.

Vérification : $8 \times 21 + 5 \times 9 = 168 + 45 = 213$ €, c'est correct.

Un point commun aux deux droites vérifie les deux équations : c'est une solution du système $y = 2x + 1$ et $y = -x + 7$.

On égale les deux expressions : $2x + 1 = -x + 7$, donc $3x = 6$ et $x = 2$.

On calcule l'ordonnée avec $d_1$ : $y = 2 \times 2 + 1 = 5$.

Vérification avec $d_2$ : $-2 + 7 = 5$, c'est correct.

On calcule $2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$ : les droites ne sont pas sécantes.

On multiplie la première équation par $3$ et la seconde par $2$ : $6x + 12y = 18$ et $6x + 12y = 20$.

En soustrayant, on obtient $0 = 2$, ce qui est impossible.

Les deux droites ont la même direction mais ne sont pas confondues : elles sont parallèles distinctes.

Les coefficients sont $a_1 = m$, $b_1 = 2$, $a_2 = 3$, $b_2 = 6$. Le calcul donne $a_1b_2 - a_2b_1 = 6m - 6$.

Les droites sont parallèles ou confondues quand $6m - 6 = 0$, soit $m = 1$.

Pour $m = 1$, le système devient $x + 2y = 1$ et $3x + 6y = 5$.

En multipliant la première équation par $3$, on obtient $3x + 6y = 3$, ce qui contredit $3x + 6y = 5$ : les droites sont parallèles distinctes.

Pour $m \neq 1$, le nombre $6m - 6$ n'est pas nul et le système a une unique solution.