La fonction carré : cours de Seconde

Tu as déjà croisé le carré d'un nombre : l'aire d'un carré de côté $x$ vaut $x \times x$. Dès qu'on fait varier la longueur du côté, l'aire change avec elle, et c'est exactement le genre de situation que décrit une fonction. Comme tu as déjà travaillé avec les fonctions affines, tu sais qu'une fonction affine augmente toujours au même rythme. La fonction carré, elle, se comporte très différemment : elle grandit lentement près de $0$ puis de plus en plus vite quand $x$ s'éloigne de $0$.

Dans le programme de Seconde, la fonction carré figure parmi les fonctions de référence, avec les fonctions inverse, racine carrée et cube ². On les étudie en détail parce qu'on les retrouve partout : dans les calculs d'aires, dans la chute des corps, dans les formules de physique, et plus tard dans les fonctions du second degré. La fonction carré est d'ailleurs le premier exemple de fonction du second degré ⁵.

Dans ce cours, tu vas apprendre à : calculer des images et des antécédents, démontrer le sens de variation, tracer et lire la courbe, résoudre $x^2 = a$, et comparer des carrés sans te tromper de sens d'inégalité.

Pour calculer une image, on remplace $x$ par la valeur donnée, sans oublier les parenthèses autour d'un nombre négatif. Avec $f(x) = x^2$ :

• $f(3) = 3^2 = 9$ ;
• $f(-3) = (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ ;
• $f(0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25$ ;
• $f\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{9}$.

Cette propriété a une conséquence immédiate : la valeur $0$ est la plus petite image possible. On dit que la fonction carré admet un minimum égal à $0$, atteint en $x = 0$ ⁵. Il n'existe pas de maximum, car on peut toujours trouver un réel dont le carré dépasse n'importe quel nombre donné : $100^2 = 10\,000$, $1\,000^2 = 1\,000\,000$, etc.

On l'a déjà observé dans le tableau de valeurs : $f(-2) = f(2) = 4$, $f(-1) = f(1) = 1$. Graphiquement, cela signifie que les points $M(x\,; x^2)$ et $M'(-x\,; x^2)$ sont à la même hauteur et de part et d'autre de l'axe des ordonnées. La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Rappelons ce que veut dire « croissante sur un intervalle » : quels que soient deux nombres $a$ et $b$ de cet intervalle, si $a < b$ alors $f(a) \leq f(b)$. Pour « décroissante », l'ordre des images est inversé : si $a < b$ alors $f(a) \geq f(b)$. Dire que la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ signifie donc que, pour deux nombres positifs rangés dans l'ordre croissant, leurs carrés sont rangés dans le même ordre ⁴.

La représentation graphique de la fonction carré est une parabole, d'axe vertical, de sommet à l'origine du repère, tournée vers les ordonnées positives ⁵. Elle regroupe tout ce que nous avons établi :

• elle reste au-dessus de l'axe des abscisses (positivité) ;
• elle touche l'axe des abscisses en un seul point, l'origine, qui est son point le plus bas ;
• elle descend quand $x$ va de gauche vers $0$, puis remonte (variations) ;
• elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (parité).

Chercher les antécédents d'un réel $a$ par la fonction carré revient à résoudre l'équation $x^2 = a$ ⁵. Le nombre de solutions dépend du signe de $a$, et on peut aussi le lire sur le graphique : les antécédents de $a$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec la droite d'équation $y = a$ ⁵.

Le symbole $\sqrt{a}$ désigne la racine carrée de $a$ : l'unique réel positif dont le carré vaut $a$ ⁶. La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée ⁶. Quand $a > 0$, la parabole est coupée par la droite $y = a$ en deux points symétriques, d'abscisses $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$. Quand $a = 0$, la droite $y=0$ touche la parabole uniquement au sommet. Quand $a < 0$, la droite reste sous la parabole sans la rencontrer.

Le sens de variation de la fonction carré sert à comparer des images sans les calculer, et il faut le prendre en compte quand on résout des inéquations : si les valeurs sont négatives, les inégalités s'inversent ⁵.