Fonction carré : exercices corrigés de Seconde

Image de $-4$ : $f(-4)=(-4)^2=(-4)\times(-4)=16$.

Image de $0{,}5$ : $f(0{,}5)=0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$.

Image de $\dfrac{2}{3}$ : $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{4}{9}$.

Comparaison : $f(4)=4\times 4=16$, donc $f(-4)=f(4)$.

Pour $a=49$ : l'équation $x^2=49$ a pour solutions $7$ et $-7$, car $7^2=49$ et $(-7)^2=49$.

Pour $a=0$ : $x^2=0$ n'a qu'une solution, $x=0$, car un produit de deux réels n'est nul que si l'un des facteurs l'est.

Pour $a=-4$ : un carré est toujours positif ou nul,⁵ donc $x^2=-4$ n'a aucune solution. Le nombre $-4$ n'a pas d'antécédent.

Pour $a=7$ : 7 n'est pas un carré parfait, mais il est positif ; les antécédents sont les deux réels $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$, où $\sqrt{7}$ est le nombre positif dont le carré vaut 7.⁶

Première paire : $-5$ et $-3$ appartiennent à $]-\infty ; 0]$, intervalle où la fonction carré est décroissante.⁵

Comme $-5<-3$ et que $f$ est décroissante sur cet intervalle, l'ordre s'inverse : $f(-5)>f(-3)$, donc $(-5)^2>(-3)^2$. On vérifie : $25>9$.

Seconde paire : par parité, $(-0{,}7)^2=0{,}7^2$.⁵

Les nombres $0{,}5$ et $0{,}7$ sont dans $[0 ; +\infty[$, où $f$ est croissante.⁵ Comme $0{,}5<0{,}7$, on a $0{,}5^2<0{,}7^2$.

On conclut : $0{,}5^2<(-0{,}7)^2$, soit $0{,}25<0{,}49$.

Les antécédents de 9 sont $-3$ et $3$ : la parabole coupe la droite $y=9$ en deux points d'abscisses $-3$ et $3$.⁵

La parabole est sous la droite $y=9$ entre ces deux points : $x^2<9$ équivaut à $-3<x<3$. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.

Les antécédents de 4 sont $-2$ et $2$.

La parabole est au-dessus de la droite $y=4$ à gauche de $-2$ et à droite de $2$, ces points compris puisque l'inégalité est large.

Le nouveau côté mesure $x+3$ mètres, donc l'aire vaut $(x+3)^2$.

On résout $(x+3)^2=144$. Les antécédents de 144 par la fonction carré sont $12$ et $-12$.

Cas $x+3=12$ : on obtient $x=9$.

Cas $x+3=-12$ : on obtient $x=-15$, impossible car une longueur est positive.

Vérification : $(9+3)^2=12^2=144$. C'est bien l'aire annoncée.

Sur $[1 ; 4]$, $f$ est croissante : les valeurs vont de $f(1)=1$ à $f(4)=16$, soit $[1 ; 16]$.

Sur $[-3 ; -1]$, $f$ est décroissante : elle part de $f(-3)=9$ et descend à $f(-1)=1$, soit $[1 ; 9]$.

Sur $[-2 ; 3]$, l'intervalle contient 0, où $f$ atteint son minimum $0$.⁵

Aux bornes, $f(-2)=4$ et $f(3)=9$. Le maximum est le plus grand des deux : $9$.

Les valeurs prises forment donc l'intervalle $[0 ; 9]$.

On résout $f(x)=g(x)$, c'est-à-dire $x^2=2x+3$, soit $x^2-2x-3=0$.

Développons $(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3$ : la factorisation est correcte.

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x-3=0$ ou $x+1=0$, donc $x=3$ ou $x=-1$.

Ordonnées : $f(3)=9$ et $g(3)=2\times 3+3=9$ ; $f(-1)=1$ et $g(-1)=-2+3=1$.

Question 1 : $d(2)=5\times 2^2=5\times 4=20$, soit $20$ m.

Question 2 : on résout $5t^2=80$, donc $t^2=16$.

Les antécédents de 16 sont $4$ et $-4$ ; un temps étant positif, on garde $t=4$.⁵

Vérification : $d(4)=5\times 16=80$ m.

Question 3 : $d(1)=5$ m et $d(2)=20$ m. Si la distance était proportionnelle au temps, on aurait $d(2)=2\times d(1)=10$ m. Ce n'est pas le cas.

Développement : $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2=a^2-b^2$.

Signe de $a-b$ : comme $b<a$, ce facteur est strictement positif.

Signe de $a+b$ : comme $0\leq b<a$, on a $a>0$ et $b\geq 0$, donc $a+b>0$.

Un produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif : $a^2-b^2>0$, donc $b^2<a^2$. Cela traduit la croissance de la fonction carré sur $[0 ; +\infty[$.⁵

Si $b<a\leq 0$, alors $a-b>0$ mais $a+b<0$ : le produit est strictement négatif et $a^2<b^2$. L'ordre est inversé, ce qui traduit la décroissance sur $]-\infty ; 0]$.⁵