Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La valeur absolue d'un réel est sa valeur sans le signe, c'est-à-dire sa distance à zéro : ∣−4∣=∣4∣=4.3
Définition par cas : ∣x∣=x si x≥0 et ∣x∣=−x si x<0. Une valeur absolue n'est jamais négative.
La fonction x↦∣x∣ est paire : ∣−x∣=∣x∣. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et dessine un V de sommet l'origine.
∣x−a∣ est la distance entre x et a : l'équation ∣x−a∣=r (avec r≥0) a pour solutions a−r et a+r.
Piège classique : ∣a+b∣ n'est pas égal à ∣a∣+∣b∣ en général, et ∣x∣=−x quand x est négatif, ce qui reste un nombre positif.
Pourquoi une valeur absolue ?
Quand tu calcules l'écart entre deux températures, la longueur d'un trajet ou l'erreur d'une mesure, le signe du résultat ne t'intéresse pas toujours. Tu veux seulement savoir « de combien » deux nombres diffèrent. Si l'on te dit qu'un thermomètre indique −4 °C, il est à quatre degrés de zéro, exactement comme un autre qui indique +4 °C. La valeur absolue sert à exprimer cette idée : garder la taille d'un nombre et oublier son signe.
Dans ce cours, tu vas d'abord définir la valeur absolue d'un nombre, puis la voir comme une fonction, c'est-à-dire une machine qui associe à chaque réel x un nombre ∣x∣. Tu t'appuieras sur ce que tu connais déjà : la lecture d'une courbe représentative, les fonctions affines, la fonction carré et la fonction inverse. Tu verras ensuite comment dessiner la courbe, quelles propriétés elle possède, et comment résoudre des équations simples avec cet outil.
Définition : la valeur absolue d'un nombre
La fonction valeur absolue et sa définition par cas
Si tu remplaces x dans ∣x∣ par n'importe quel réel, tu obtiens un nombre unique, positif ou nul. Tu définis ainsi une fonction de R dans R, notée x↦∣x∣. Cette fonction se programme avec une condition : on teste le signe de x, puis on agit en conséquence.2
Pourquoi cette écriture est-elle cohérente ? Si x est positif, il est déjà à la bonne distance de zéro : on le laisse tel quel. Si x est négatif, son opposé −x est positif et se trouve à la même distance de zéro : on prend donc −x.
Courbe représentative et propriétés
Pour tracer la courbe de x↦∣x∣, utilise la définition par cas. Pour x≥0, tu traces la droite d'équation y=x : c'est une fonction affine que tu connais. Pour x<0, tu traces la droite d'équation y=−x. Les deux demi-droites se rejoignent en l'origine et forment un V.
Courbe de la fonction valeur absolue · Pour x ≥ 0 la courbe suit y = x, pour x < 0 elle suit y = -x.
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
∣x∣
3
2
1
0
1
2
3
Démonstration · Variations de la fonction valeur absolue
Prends deux réels a<b avec a≥0. Alors ∣a∣=a<b=∣b∣ : la fonction est croissante sur [0;+∞[.
Prends maintenant deux réels a<b≤0. Alors ∣a∣=−a et ∣b∣=−b. Comme a<b, on a −a>−b, donc ∣a∣>∣b∣ : la fonction est décroissante sur ]−∞;0].
On peut le voir sur la courbe : elle descend jusqu'à l'origine, puis remonte.
La valeur absolue comme distance
L'idée de distance à zéro se généralise. Sur la droite graduée, la distance entre deux nombres x et a s'obtient en faisant la différence du plus grand moins le plus petit. Comme tu ne sais pas toujours lequel est le plus grand, on utilise la valeur absolue de la différence.
Erreurs fréquentes et lien avec la suite
Cette fonction te servira dans les chapitres suivants. Quand tu étudieras les variations et extremums, tu retrouveras le V de la valeur absolue comme exemple d'une fonction qui a un minimum. Pour le signe d'une fonction, la méthode de l'écriture sans barres te sera utile : elle repose déjà sur l'étude du signe d'une expression. En science, elle sert à exprimer une erreur de mesure ou un écart à une valeur de référence.
Pour s'entraîner : applications guidées
Cette dernière partie rassemble des situations où la valeur absolue intervient concrètement. Prends le temps de les refaire sur ton cahier, sans regarder la correction, avant de comparer avec la démarche proposée.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer avec des valeurs absolues
★☆☆Environ 5 min
Calcule A=∣−7∣+∣3∣−∣−2∣.
Indice 1
Calcule chaque valeur absolue séparément avant de faire les opérations.
Voir la correction pas à pas
On calcule ∣−7∣=7 car −7 est à la distance 7 de 0.
On calcule ∣3∣=3 et ∣−2∣=2.
On remplace : A=7+3−2.
On calcule : A=8.
On trouve A=8. Chaque valeur absolue est transformée en nombre positif avant d'additionner.
Exercice 2 Image d'un nombre par une fonction
★★☆Environ 7 min
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=∣2x−6∣. Calcule f(−1).
Indice 1
Remplace x par −1 dans l'expression entre les barres.
Indice 2
Calcule d'abord l'intérieur, puis prends la valeur absolue.
Voir la correction pas à pas
On remplace x par −1 : f(−1)=∣2×(−1)−6∣.
On calcule l'intérieur : 2×(−1)−6=−2−6=−8.
On prend la valeur absolue : ∣−8∣=8.
Donc f(−1)=8.
L'image de −1 par f est 8. Elle est positive, comme toute valeur absolue.
Exercice 3 Résoudre une équation et une distance
★★★Environ 10 min
Résous l'équation ∣x−3∣=5.
Quelle est la distance entre les solutions que tu as trouvées ?
Indice 1
∣x−3∣=5 signifie que x est à la distance 5 de 3.
Indice 2
La distance entre deux nombres u et v est ∣u−v∣.
Voir la correction pas à pas
L'équation ∣x−3∣=5 revient à x−3=5 ou x−3=−5.
Première équation : x=8.
Seconde équation : x=−2.
Vérification : ∣8−3∣=5 et ∣−2−3∣=∣−5∣=5.
La distance entre les solutions est ∣8−(−2)∣=∣10∣=10.
Les solutions sont −2 et 8, et la distance entre elles vaut 10, soit le double de 5. Cela s'explique : les deux solutions sont placées de part et d'autre de 3, chacune à 5 de lui.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La valeur absolue est la distance à zéro, donc ∣−9∣=9. Répondre −9 revient à ne rien faire du signe, alors que la valeur absolue est toujours positive ou nulle. 0 et 91 n'ont aucun rapport avec cette définition.
Quand x est négatif, on prend son opposé : ∣x∣=−x. La réponse x serait négative, ce qui est impossible pour une valeur absolue. x2 est positif mais ne vaut pas ∣x∣ : pour x=−3, x2=9 alors que ∣x∣=3.
C'est vrai : −x et x sont à la même distance de zéro. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Penser que la fonction est impaire serait faux, car une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x), ce qui donnerait des valeurs négatives.
La valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues. L'égalité sur la somme est fausse : avec a=3 et b=−5, ∣a+b∣=2 mais ∣a∣+∣b∣=8. Celle sur la différence est fausse aussi : avec a=1 et b=4, ∣a−b∣=3 alors que ∣a∣−∣b∣=−3.
Les nombres à la distance 6 de 4 sont −2 et 10 : il y a deux solutions. Répondre « une seule » oublie le côté gauche de 4. Répondre « aucune » serait vrai pour une équation du type ∣x−4∣=−6, ce qui n'est pas le cas ici.
On calcule d'abord 3−11=−8, puis ∣−8∣=8. C'est aussi la distance entre 3 et 11. Écrire 14 en additionnant les nombres est l'erreur tentante, mais elle ne respecte pas l'ordre des calculs.
Elle descend jusqu'à 0 puis remonte, avec un minimum de 0 en x=0, et la courbe a la forme d'un V. La proposition « elle prend des valeurs négatives » est fausse, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
Pour x<3, l'expression x−3 est négative, on prend donc son opposé : −(x−3)=3−x. La réponse x−3 serait négative. La réponse −x−3 oublie de changer le signe du 3 en distribuant le moins.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi la valeur absolue n'est-elle jamais négative ?
Parce qu'elle mesure une distance à zéro, et une distance ne peut pas être négative.3 Si x est négatif, on prend son opposé, qui est positif : ∣x∣=−x.
Comment savoir quand je dois changer le signe ?
Regarde le signe de l'expression entre les barres, pas celui de x seul. Si elle est positive ou nulle, tu enlèves les barres. Si elle est négative, tu les enlèves et tu prends l'opposé de toute l'expression, en mettant des parenthèses.
Quelle est la différence entre $|x|$ et $-x$ ?
−x est toujours l'opposé de x : il est négatif quand x est positif. ∣x∣ est toujours positif ou nul. Ils ne sont égaux que lorsque x≤0.
À quoi sert la valeur absolue ?
Elle sert à exprimer une distance ou un écart sans se soucier du sens : écart entre deux températures, erreur d'une mesure, distance entre deux points d'une droite graduée. Elle est aussi proche des notions de distance et de magnitude en physique.3
Comment la valeur absolue s'écrit-elle sur la calculatrice ou en Python ?
On utilise le mot abs.3 Par exemple abs(-4) renvoie 4. Cela te permet de vérifier rapidement un calcul.